Fonction exponenetielle

[Anis]

Bonjour,
Oui je parle du signe de la dérivée,

Je sais que e^x est positif et e^x est positif
donc cette dérivée garde le même signe sur R soit positif


Partie c
1. Initialisation
0< U1 <U0 < 1
U0 = 1 et U1 = (e^U0)/(1+e^U0) = 1/2
donc c'est vrai pour n=1

Hérédité
Nous devons montrer que 0< Un+2 <Un+1 < 1

U2 = (e^U1)/(1+e^U1) = 2/3

donc 0< 2/3 <1/2< 1 donc 0< Un+2 <Un+1 < 1 est vrai

Conclusion
La récurrence est vrai

2.
(Un) est croissante et majoré par 1 donc elle converge

3.Montrer que lim Un que elle tend vers +l'infini = alpha
Je vois pas comment faire...

[sos-math(21)]

Non,
au numérateur, tu as \({-e^{2x}}-e^x-1\) : ce nombre est toujours du même signe mais il ne peut pas être positif : ce ne sont que des opposés de nombres positifs !
Revois cela.
Par ailleurs, ta récurrence est vide, tu ne montres rien dans ton hérédité.
Utilise le sens de variation de la fonction h.

[Anis]

Partie B

3) Ah c'est parce qu'il y a le - que le e^x et e^2x va être négatif donc entre 0 et 1 c'est décroissant

Partie C
1. Hérédité
Etant donné que le tableau de variation indique que entre 0 et 1 ce trouve un nombre alpha on peut en déduire que (Un) également là donc l'hérédité est prouvé.

[sos-math(21)]

Oui pour le signe, à peu près.
Pour l'hérédité, il faut partir de l'encadrement au rang n, appliquer la fonction f à cet encadrement pour obtenir le même type d'encadrement mais au rang n+1.
Reprends cela.

[Anis]

Partie C
1.
Il faut donc faire
Hérédité
f(0)< f(Un+2) < f(Un+1) < f(1)
f(0)< f(U2) < f(U1) < f(1)

Après je dois calculer les fonctions?

[sos-math(21)]

Je te rappelle que \(f(U_{n})=U_{n+1}\) et \(f(U_{n+1})=U_{n+2}\) par construction de ta suite.
Pars de l'inégalité supposée en hypothèse de récurrence : \(0<U_{n+1}<U_{n}<1\)
Ensuite, ta fonction f est croissante donc l'inégalité est conservée (ce que tu as fait sans le dire).
Il reste à vérifier que \(f(0)>0\) et \(f(1)<1\) pour rester dans l'intervalle.
Une fois cela fait quand tu auras établi : \(0<U_{n+2}<U_{n+1}<1\), tu auras montré l'hérédité.
De plus, tes calculs de premiers termes sont faux.

[Anis]

D'accord j'ai à peut près compris donc :

Partie C
1.
f(0) = 1/2
f(U1) = 1/2
f(U2) = (e^U1)/(1+e^U1) = (1/2)/(1+(1/2)) = (1/2)/((2/2)+(1/2)) = (1/2)/(3/2)= (1/2)*(2/3)= 2/6
f(1) = (-e^2x-e^1-1)/(e^1+1)²

J'ai bien fait ?

[sos-math(21)]

Je te cite :
f(U1) = 1/2 ? \(f(U_1)=\frac{e^1}{e^1+1}\) : cela n'a jamais fait 1/2 !
Attention, ce sont des calculs élémentaires, tu fais le même type de raisonnement faux sur le calcul de \(f(U_2)\).
Reprends cela.

[Anis]

Donc :

Si f(U1) = (e^1)/(1+e^1)
alors f(U2) = (e^2)/(1+e^2) ?

[sos-math(21)]

Non,
\(U_3=f(U_2)=\frac{e^{U_2}}{1+e^{U_2}}\)...

[Anis]

Donc
U3 = f(U2) = (e^U2)/(1+e^U2)

e^U2 correspond à (e^1)/(1+e^1) ?

[sos-math(21)]

Non, \(U_2=\frac{e^1}{1+e^1}\) donc \(e^{U_2}=e^{\frac{e^1}{1+e^1}}\)
Cela devient vite compliqué à écrire donc il faut rapidement passer aux valeurs décimales approchées, lesquelles permettent de conclure.
Bon courage

[Anis]

Ah d'accord j'ai compris !! Merci :) !

Par contre pour le 3 de la partie C je vois pas trop comment faire...

[sos-math(21)]

Avec tout ce que tu as montré, tu as obtenu que ta suite \((U_n)\) est décroissante et minorée (par 0), donc elle converge (théorème du cours) vers un nombre \(\ell\)qui doit vérifier
\(\ell=f(\ell)\) (c'est du cours).
Donc si \(\ell\) vérifie cela, qu'est ce que cela signifie par rapport à la fonction h ?
A toi de terminer

[Anis]

Donc si L vérifie cela, qu'est ce que cela signifie par rapport à la fonction h ?
Donc cela signifie par rapport à la fonction h que la fonction h en +infini à pour limite alpha

C'est bien çà ?