Nombre complexe

[georges]

Bonjour :) !
Est ce quelqu'un pourrait m'aider à faire ce DM s'il vous plaît ?


Le plan complexe P est muni d'un repère orthogonal (O,u,v)
Soit la transformation F du plan complexe qui a tout point M d'affixe z différent de i associe le point M' d'affixe z' avec z'= (z+i)/(z-i)

PARTIE A
1. Déterminer l'affixe de l'image K' du point K(1+i) par la transformation F
2. Déterminer l'affixe du point L ont l'image L' par F est i
On appelle delta l'ensemble des points M d'affixe z tel que z' est un réel et C l'ensemble des points M d'affixe z tels que z' soit un imaginaire pur. On va déterminer C et D par 2 méthodes distinctes.


PARTIE B
On pose z= x+iy et z'=x'+iy'

1. Déterminer x' et y' en fonction de x et de y
2. En déduire les ensemble delta et C
3. Représenter ces ensembles dans le plan complexe


PARTIE C

A. On rappelle les propriétés suivantes Z appartient au réel donc conjugué de Z = Z et Z appartient à iréel donc conjugué de Z= -Z (symbole ! pour : conjugué de Z/ iréel/donc/réel/ mais je sais pas les faire sur le forum)
4.a. Montrer que Z' appartient au réel donc Z appartient à iréel
b. En déduire delta


B. On pose A(i) et B(i). On rappelle la propriété suivante : Z appartient iréel donc arg(Z) = pie/2 +kpie
b. En déduire C


Voici ce que j'ai fais :
Dans le A.1 je comprends pas. Il faut remplacer Z par 1+i ?





Merci de votre aide :) !

[sos-math(21)]

Bonsoir,
C'est cela. Commence par faire cela.
Bon courage

[georges]

Bonjour !

Voici ce que j'ai fait :

PARTIE A
1. K= 1+2i
2+ L= 2i

Partie B
1.
z' = (x'+iy'+i)/(x'+iy'-i) = (x'+iy'+i)(x'+iy'+i)/(x'+iy'-i)(x'+iy'+i) = (x'²+iyx+x'i+iy'x'-y'²-1+ix'-y'-1)/(x'²+'y-1)²) = (x'²-y'-y'-2+i(y'x+x'+y'x'++x'))/(x²+(y-1)²)

Est ce bon ?

[georges]

Bonjour !
J'ai envoyé mes réponses mais je ne sais pas si c'est arrivé à destination...

[sos-math(21)]

Bonjour,
Pour la 1, je suis d'accord,
Pour la 2, je ne suis pas d'accord : as-tu résolu l'équation \(\frac{z+\textbf{i}}{z-\textbf{i}}=\textbf{i}\) ?
Pour la suite, il faut partir de \(f(z)=\frac{z+\textbf{i}}{z-\textbf{i}}=\textbf{i}\), remplacer \(z\) par \(z=x+\textbf{i}y\) et déterminer les parties réelles et imaginaire de ce nombre afin de trouver l'ensemble C et l'ensemble D.
A toi de d'arranger :\(f(x+\textbf{i}y)=\frac{x+\textbf{i}y+\textbf{i}}{x+\textbf{i}y-\textbf{i}}\)
Bon courage

[georges]

Bonjour et bonne année 2014 :)!

PARTIE A
2) L= (z+i)/(z-i)=i
= (x+iy+i)/(x+iy-i)=i
= x+iy-i = i(x+iy-i)
= x+iy-i = ix-y+1
= x-ix+iy-y-i = 1
= x-y-1+i(-x+y-1) = 0

Partie B
1. J'ai refais plusieurs mais je trouve à chaque fois le même résultat ..

[sos-math(21)]

Pour la 2, ce n'est pas la peine de passer par la forme algébrique du complexe.
\(f(z)=\textbf{i}\) équivaut à \(\frac{z+\textbf{i}}{z-\textbf{i}}=\textbf{i}\) en multipliant par le dénominateur, on a \(z+\textbf{i}=i(\textbf{z}-\textbf{i})\)
donc \(z+\textbf{i}=\textbf{i}z+1\)
tu passes le iz à gaauche tu factorises, le -i à droite et ensuite on divise...
Pour l'autre calcul, il faut partir de ce que j'ai déjà dit : \(f(x+\textbf{i}y)=\frac{x+\textbf{i}y+\textbf{i}}{x+\textbf{i}y-\textbf{i}}=\frac{x+\textbf{i}(y+1)}{x+\textbf{i}{y-1)}\)
Et multiplier en haut et en bas par \((x-\textbf{i}{y-1)\) qui est le conjugué du complexe au dénominateur.
Reprends cela

[georges]

Voici :

2) zi = iz+1
z+i-iz = 1
z(1-i)+i = 1
z(1-i) = 1-i
z= (1-i)/(1-i)
z = 1

Partie B
1) [x+i(y+1)][x-iy-1]/[x-i(y-1)][x-iy-1] = (x²+xiy-x+iy+y²-i-x-iy-1)/(x²+(y-1)²) = (x²+y²-1+x+i(-xy+yx-1-y))/(x²+(y-1))

Est ce bon ?

[sos-math(21)]

Oui pour le premier,
Non pour le deuxième,
Tu dois avoir :
\(f(x+\textbf{i}y)=\frac{x^2+y^2-1}{x^2+(y-1)^2}+\textbf{i}\left(\frac{2x}{x^2+(y-1)^2}\right)\)
Reprends cela.

[georges]

Bonjour,

Partie B
1) J'ai refais 2 fois le calcul et je trouve çà à chaque fois :
[x+i(y+1)][x-iy-1]/[x-i(y-1)][x-iy-1] = (x²-xiy-x+iyx+y²-iy-ix+y-i)/(x²+(y-1)²) = (x²+y²-x+y+i(-y-x-1))/(x²+(y-1))

J'arrive pas à avoir votre 2x et à retirer -x et y

[SoS-Math(25)]

Bonjour Georges,

reprends ton calcul.... Il faut multiplier en haut et en bas par \(x - i(y-1)\) qui est le conjugué de \(x + i(y-1)\).

\((x + i(y+1))(x - i(y-1)) = ...\)


Bon courage !

[georges]

Bonjour,

[x+i(y-1)][x-iy-1] = x² + (y-1)²
C'est surtout pour le numérateur que j'ai un problème je n'arrive pas à bien développer ..

[SoS-Math(25)]

C'est bien le numérateur que je te donne.

\(f(x+\textbf{i}y)=\frac{x+\textbf{i}y+\textbf{i}}{x+\textbf{i}y-\textbf{i}}=\frac{x+\textbf{i}(y+1)}{x+\textbf{i}(y-1)}\)
Et multiplier en haut et en bas par \((x-\textbf{i}(y-1))\) qui est le conjugué du complexe au dénominateur.
Reprends cela

Il y avait une petite erreur corrigée dans cette phrase.

Le numérateur à calculer est bien : \((x+\textbf{i}(y+1))\times (x-\textbf{i}(y-1))\)

Bon courage !

[georges]

Je vais faire exclusivement le numérateur :

[x+i(y+1)][x-i(y-1)] = [x+iy+i)][x-iy-i)] = x²-iyx-ix+iyx+y²+y+ix-y+1 = x²+y²+1

Mais je ne trouve pas de partie imaginaire...

[SoS-Math(25)]

Attention !

Tu fais des erreurs de signes et de plus,

\((x+i(y+1))(x-i(y-1)) = (x+iy+i))(x-iy +i))\)

Courage !