exo nombre complexe TS

[Invité]

bonsoir, j'ai un exo à rendre jeudi et j'ai besoin d'aide svp
voici l'exo :

le plan complexe est muni d'un repère orthonormal (O,u,v).
On note A le point d'affixe i.
A tout point M du plan, distinct de A et d'affixe z, on associe M' d'affixe z'=(iz)/(z-i)

1)a) déterminer les points M du plan tels que l'on ait M=M'
b) déterminer le point B' associé au point B d'affixe 1; déterminer le point C tel que le point associé C' ait pour affixe 2.

2) Etant donné z complexe, distinct de i, on pose z=x+iy et z'=x'+iy' avec x , x' , y , y' réels.
a) déterminer x' et y' en fonction de x et y.
j'ai trouvé : x' = (-x)/(x²+(y-1)²)
y' = (x²+y²-y)/(x²+(y-1)²)
est-ce correct ?
b) déterminer l'ensemble T des points M du plan pour lesquels z' est réel.
j'ai trouvé : z' réel équivaut à y'=0 donc x²+y²-y=0 mais je n'ai pas réussi a résodre cela

3) Soit z un nombre complexe différent de i.
a) monter que z'-i = (-1)/(z-i) (j'ai réussi la question)
b)on suppose que M, d'affixe z, appartient au cercle T ' de centre A et de rayon 1.
monter que M' appartient à T ' . la réciproque est-elle vraie?

merci d'avance

[SoS-Math(1)]

Bonjour,
J'imagine que vous avez répondu aux questions 1a) et 1b).
Pour la question 2a), vos calculs sont corrects.
Pour la question 2b), \(x^2+y^2-y=0\) équivaut à \(x^2+\left(y-0,5\right)^2=0,25\).
C'est l'équation d'un cercle dont vous trouverez le centre et le rayon.
Pour la question 3a), je trouve comme vous.
Pour la première partie de la question 3b, l'équation complexe du cercle de centre A(i) et de rayon 1 est: \(\left(z-i\right)\left(\bar{z}+i\right)=1\).
Il faut donc montrer que \(\left(z\prime-i\right)\left(\bar{z\prime}+i\right)=1\).
Avec ce que l'on vous fait faire à la question 3a), cela ne pose pas trop de problèmes si on connaît les règles sur les conjugués.
Bon courage.

[Invité]

Bonsoir,
tout d'abord merci pour votre aide,

ensuite je n'ai pas compris les questions 1)a) et 1)b) donc si vous pouviez m'aider a démarer,

enfin, pour la 3)b) je pense que la réciproque est fausse mais je n'arrive pas à le prouver.
audrey

[SoS-Math(9)]

bonsoir Audrey,

Pour la question 1a), on demande M=M', donc les deux points ont la même affixe (z=z')
il ne reste plus qu'a résoudre une équation ...

Pour la question 1b), il faut utiliser la relation z'=(iz)/(z-i)
Pour B tu connais z et donc tu vas calculer z' ...
pour C tu connais z' ....

Voila pour le moment,
Bon courage,
SoSMath.

[Invité]

Bonjour,pourriez vous expliquer comment vous trouvez la 2.a. svp?
car en calculant z',je trouve z'=[i(x²-y²-y)-x]/(x²+y²+1)
Est-ce juste?
En a-t-on réellement besoin?
Comment en déduire x' et y'???
merci d'avance.
Marion

[SoS-Math(8)]

Bonjour,

vous avez dû faire une erreur de calculs(y² et non -y²), car je confirme la réponse précédente.
Ensuite pour trouver x' et y', il faut égaler les deux parties réelles et les deux parties imaginaires.

SoS-Math(8)

[flo-mono]

mais comment fait tu pour calculer Z ?

[SoS-Math(7)]

Bonsoir,

Votre question est déroutante... Ici, on ne calcule pas z, z est l'affixe du point M et on cherche des conditions sur cette affixe afin que le point M vérifie certaines propriétés.

A bientôt.

[Isa]

Salut.
J'ai essayer de faire la question 1 et pour être sur trouvez bien O(0;0) et K(0;2) au 1)a)?
Pour ma part d'ailleurs au b) j'ai trouvé B'(-1/2;1/2) et C'(4/5;-2/5). Trouvez vous pareil ? :)

[SoS-Math(9)]

Isa, tes réponses semblent juste !

Bon courage pour la suite,
SoSMath.

[Visiteur]

Je ne comprends pas comment démarrer pour la question 1)b faut-il remplacer tous les z par pour B ou juste écrire iz/(z-i)=1 ? Ensuite pour la 1)a j'ai trouvé z(z-2i)=0 ms je ne suis pas du tout sur de mon résultat... Merci d'avance.

[sos-math(19)]

Bonsoir,

Appelons b l'affixe du point B et b' celle du point B'. On sait que b=1 et on applique la formule b'=(ib)/(b-i).

Pour la question 1a, tu as raison, on trouve bien : z(z-2i)=0. Tu résous alors cette équation-produit, puis tu interprètes dans le plan complexe.

Pour la suite, il faut essayer de profiter du travail déjà accompli sur cet exercice, dans ce forum. Cependant, je signale une erreur dans la réponse d'Isa : C'(4/5;-2/5) est faux, puisque l'énoncé précise ici que C' est le point d'affixe 2 et c'est le point C, donc son antécédent que l'on cherche.

Bonne continuation.

sos-math

[Rusty47]

Bonsoir j'aimerai savoir comment la 2a a était résolue.
Merci

[sos-math(19)]

Bonsoir Rusty47,

Qu'as-tu déjà fait sur cet exercice ?

Toutes les indications pour résoudre la question 2a ont été données dans les messages précédents.

\(z'\) = \(\frac{iz}{z-i}\).
Tu remplaces z' par x' + iy' et z par x + iy,
puis tu fais les calculs pour que le deuxième membre soit sous sa forme algébrique,
alors tu égales les parties réelles entre elles et les parties imaginaires entre elles.

A bientôt.

[Geo]

Désolé mais je n'arrive vraiment pas à faire la question 2) a)
SI quelqu'un pourrait m'éclairer SVP !!!