Fonction exponenetielle

[Anis]

Bonjour : ) ! Quelqu'un pourrais m'aider à faire ce type bac s'il vous plaît ?

PARTIE A:

On considère la fonction f définie sur R par f(x) = (e^x)/(1+e^x)

1.a Déterminer la limite de f en -infini. Donner sa conséquence graphique pour (C)
b. Montrer que pour tout réel x, f(x) = (1)/(1+(1/(e^x)))
c. En déduire la limite de f en +infini Donner la conséquence graphique pour (C)

2. Etudier les variations de f puis dresser le tableau de variation de f sur R

3.a Soit A (0;(1/2)) un point de (C). Déterminer une équation de la tangente au point A.
b.Soient M et M' les points de (C) d'abscisses respectives x et -. Montrer que A est le milieu de [MM'] Donner la conséquence graphique pour (C)

4. En utilisant tous les résultats précédents, tracer l'allure de la courbe (C) sur R


PARTIE B

Pour tous réel x de l'intervalle [0;1] on note h la fonction définie sur R par h(x) = f(x)-
1. Déterminer les varia tons de la fonction h sur [0;1]
2. Montrer une l'équation h()=0 admet sur [0;1] une unique solution alpha
3. Déterminer une valeur approchée de alpha à 0,1 près


PARTIE C
Pour tout entier n, on considère la suite (Un) définie par U0=1 et Un+1= (e^Un)/(1+e^Un)
1.Monter par récurrence que pour tout entier n, 0<Un+1<Un<1
2.En déduire la convergence de la suite (Un)
3.Montrer que lim Un que elle tend vers l'infini = alpha

Ce que j'ai fait :

Partie A :
1.a sa limite en -infini est 0
b. Il faut dérivée ?


Merci de votre aide :) !

[SoS-Math(4)]

Bonjour et bonne année 2014,

pour b) tu n'as pas à dériver, tu dois mettre exp(x) en facteur au dénominateur et puis simplifier .
sosmaths

[Anis]

Bonjour et Bonne Année 2014 :) !

Voici ce que j'ai fait :
b) (1)/(1+(1)/(e^x)) = (1)/(e^x+(e^x)/(e^x)) = (1)/(e^x+1)

C'est bon ?

[Anis]

c ) Donc la limite de f en +infini est 0 et on a une asymptote horizontale à y=0

2) tableau de variation -infini 0 +infini
- +
décroissante croissante

3.a. y= f'(a)(x-a) + f(a)
1/2 = f'(a)(0-a) + f(a)

b.Soient M et M' les points de (C) d'abscisses respectives x et -x. Montrer que A est le milieu de [MM'] Donner la conséquence graphique pour (C)
Je vois pas comment faire :s

[SoS-Math(4)]

j'avoue que je ne comprends pas ton calcul. De plus il y a trop de parenthèses inutiles.

sosmaths

[Anis]

En fait j'ai réussi le b) de la partie A et j'ai envoyé le reste de l'exo mais ce n'est pas arrivé sur le forum donc je le remet :

Partie A
c. La limite de f en +infini c'est 0 donc il a une asymptote horizontale en +infini

2. TABLEAU DE VARIATION
-infini 0 +infini
- +
décroissante croissante

3.a 1/2 = f'(a)(0-a)+f(a)
b. Je vois pas comment faire

Est ce que j'ai bien fait ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
Si tu as montré que f pouvait s'écrire \(f(x)=\frac{1}{1+\frac{1}{e^x}}\), alors comme \(\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{e^x}=0\), alors \(\lim_{x\to +\infty} f(x)=....\)
Ensuite, quelle est ta dérivée ? Tu dois avoir une fonction dérivée positive partout ....
Pour la tangente on utilise la formule \(y=f'(a)\times(x-a)+f(a)\).... avec a=0, f(a)=1/2....
Ensuite pour le milieux, Il faut calculer \(\frac{x_M+x_{M'}}{2}\) et vérifier que cela vaut bien 0 qui est l'abscisse de A, puis faire de même \(\frac{y_M+y_{M'}}{2}\) et vérifier que cela vaut 1/2, ordonnée de A.
Bon courage pour la reprise de toutes tes questions

[Anis]

Bonjour,

Partie A
c. Alors limite de f(x) en +infini = 1

2) La dérivée est :
(e^x)/(1+e^x) = (e^x)*((1)/(1+e^x)) = e^x* (xe)/(1+e^x)² = (e^x*xe)/(1+e^x)²

C'est bien çà ?

[sos-math(21)]

Oui pour la limite,
non pour la dérivée, la dérivée de \(e^x\) est \(e^x\) donc cela parait bizarre que tu aies des \(x\).
Reprends cela

[Anis]

Donc
2) La dérivée est :
(e^x)/(1+e^x) = (e^x)*((1)/(1+e^x)) = e^x* (e^x)/(1+e^x)² = (e^x)²/(1+e^x)²
tableau de variation
de -infini à 1 = négative donc décroissante
de 1 à +infini = positive donc croissante

3.a
y= f'(0)(x-0)+(1/2)
y= (1/2)(x-0)+(1/2)
y= (x/2)+(1/2)

b) (0+0)/2 = 0
((1/2)+(1/2))/(2) =1/2
Conséquence pour C est que coupe la moitié de C en A

C'est bien çà ?

[sos-math(21)]

Toujours pas pour la dérivée,
Tu dois utiliser le fait que \(f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}\), avec \(u(x)=e^x\) et \(v(x)=e^x+1\)
Puis la formule de la dérivée d'un quotient \(\left(\frac{u}{v}\right)^,=\frac{u'v-uv'}{v^2}\).
Pour le milieu, tu pars de \(M(x,f(x))\) et \(M'(-x,f(-x))\). Et il faut calculer les coordonnées du milieu de ce segment.
Reprends cela

[Anis]

Donc :

2) (e^x(e^x+1)-(e^x*e^x))/(e^x+1)² = ((e^x)²+e^x-(e^)²)/(e^x+1)² = (e^x)/(e^x+1)²
tableau de variation
de -infini à 1 = négative donc décroissante
de 1 à +infini = positive donc croissante


3.a J'ai bien fait ? (dans le poste précédent)

b) (x+(e^x)/(1+e^x))/2 = ((x)(1+e^x)/(1+e^x)+(e^x)/(1+e^x))/(2) = ((x(1+e^x)+e^x)/(1+e^x))/(2) = ((x+xe^xe^x)/(1+e^x))/(2) = (x+xe^x+e^x)/(1+e^x)/(1/2) = (x+xe^x+e^x)/(2(1+e^x))

[Anis]

En fait je me suis complètement gourrée pour le 3) b) j'aurais dû mettre :

(x+(-x))/(2) = (x-x)/2 = 0/2 = 0

pour l'autre j'ai trouvé :

(f(x)+f(-x)) = ((e^x)²+e^x)/(e^x)+(1+e^x)/(e^x))/(2(1+e^x)²)/(2) pour celui là j'arrive pas à trouvé 1/2

[sos-math(21)]

Bonjour,
Oui pour la dérivée,
Non pour l'étude de son signe, \(e^x>0\) et \((e^x+1)^2>0\) donc la dérivée est toujours .....
Pour la tangente, il y a une erreur, recalcule f'(0) ;
Pour le dernier, oui pour l'abscisse, non pour l'ordonnée du milieu : \(\frac{y_M+y_{M'}}{2}=\frac{\frac{e^x}{e^x+1}+\frac{e^{-x}}{e^{-x}+1}}{2}\)
Il y a encore du travail.

[Anis]

Bonjour,

2) donc la dérivée est toujours positive

3.a
y= f'(0)(x-0)+(1/2)
y= (1/4)(x-0)+(1/2)
y= (x/4)+(1/2)

b) J'ai trouvé 1/2 :) !!
La conséquence graphique pour (C) c' est qu'e la moitié de C est coupé en A