Bonjour, je bloque sur cet exercice, pourrais-je avoir de l'aide s'il vous plait ?
Je vous remercie d'avance.
Énoncé: On considère la fonction f, définie sur l'intervalle ]0 ; 20] par : f(x) = (3\(e^{2}\) - x)lnx +10
1) Calculez la valeur exacte de f(\(e^{2}\)), puis une valeur approchée à 0,01 près.
f(\(e^{2}\)) = (3\(e^{2} - e^{2})lne^{2}\) +10
Comment faire ? Je suis bloquée..
2) Montrez que, pour tout x de ]0 ; 20], f ' (x) = -lnx + \(\frac{3e^{2}}{x}\)- 1 où f ' désigne la dérivée de la fonction f.
Est-ce que la fonction f est bien de la forme uv = u' + v' ?
Logarithme népérien
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Aline
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sos-math(21)
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Re: Logarithme népérien
Bonjour,
Par définition du logarithme \(\ln(e)=1\) et avec les règles de calculs sur les logarithmes, on a \(\ln(e^2)=2\ln(e)=...\)
Je te laisse terminer pour arranger ce calcul.
La fonction est de la forme \(f(x)=u(x)\times v(x)+10\), où \(u(x)=3e^2-x\) et \(v(x)=\ln(x)\)
or tu sais que \((u\times v)'=u'\times v+u\times v'\)
Je te laisse terminer.
Par définition du logarithme \(\ln(e)=1\) et avec les règles de calculs sur les logarithmes, on a \(\ln(e^2)=2\ln(e)=...\)
Je te laisse terminer pour arranger ce calcul.
La fonction est de la forme \(f(x)=u(x)\times v(x)+10\), où \(u(x)=3e^2-x\) et \(v(x)=\ln(x)\)
or tu sais que \((u\times v)'=u'\times v+u\times v'\)
Je te laisse terminer.
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Aline
Re: Logarithme népérien
- Pour le 1) est-ce que cela est bon ?
f(\(e^{2}) = (3e^{2} - e^{2}) ln(e^{2}) +10\)
= 2\(e^{2} \times 2lne + 10\)
= 2\(e^{2} \times 2e + 10\)
= 4\(e^{2} + 10\) qui est environ égal à 39,56
Maintenant que j'ai fait la valeur approchée à 0.01 près, comment faire pour trouver la valeur exacte ?
- Pour le 2) est-ce que cela est correct ?
f(x) = (3\(e^{2}\) - x)lnx +10
Le facteur (3\(e^{2}\) - x)lnx est de la forme uv avec :
u(x) = (3\(e^{2}\) - x) ; u ' (x) = -1 et v(x) = lnx ; v ' (x) = \(\frac{1}{x}\)
f ' (x) = -1lnx + (3\(e^{2}\) - x)\(\times \frac{1}{x}\)
= -lnx + \(\frac{3e^{2}}{x} - \frac{x}{x}\)
= -lnx + \(\frac{3e^{2}}{x}\) - 1
f(\(e^{2}) = (3e^{2} - e^{2}) ln(e^{2}) +10\)
= 2\(e^{2} \times 2lne + 10\)
= 2\(e^{2} \times 2e + 10\)
= 4\(e^{2} + 10\) qui est environ égal à 39,56
Maintenant que j'ai fait la valeur approchée à 0.01 près, comment faire pour trouver la valeur exacte ?
- Pour le 2) est-ce que cela est correct ?
f(x) = (3\(e^{2}\) - x)lnx +10
Le facteur (3\(e^{2}\) - x)lnx est de la forme uv avec :
u(x) = (3\(e^{2}\) - x) ; u ' (x) = -1 et v(x) = lnx ; v ' (x) = \(\frac{1}{x}\)
f ' (x) = -1lnx + (3\(e^{2}\) - x)\(\times \frac{1}{x}\)
= -lnx + \(\frac{3e^{2}}{x} - \frac{x}{x}\)
= -lnx + \(\frac{3e^{2}}{x}\) - 1
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sos-math(21)
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Re: Logarithme népérien
Tu as écrit \(2\ln(e)=2e\) : c'est faux,
reprends ce que je t'ai dit, tu dois trouver \(4e^2+10\) : c'est bien ce que tu trouves mais tu as fait une double erreur ou alors une faute de frappe.
En revanche ta dérivée est correcte.
reprends ce que je t'ai dit, tu dois trouver \(4e^2+10\) : c'est bien ce que tu trouves mais tu as fait une double erreur ou alors une faute de frappe.
En revanche ta dérivée est correcte.
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Aline
Re: Logarithme népérien
Oui excusez-moi j'ai fait une erreur de frappe, pour 2ln(e) = 2 \(\times\) 1 = 2
Je vous remercie pour votre aide, une dernière petite chose.. Est-ce que vous pouvez me dire si la suite de mes résultats sont correct s'il vous plait ?
3) On admet que la fonction dérivée f ' est strictement décroissante sur ]0 ; 20] et que son tableau de variation est le suivant :
a. A l'aide du tableau de variation, donnez le signe de f '(x) pour x appartenant à l'intervalle ]0 ; 20].
Sur l'intervalle ]0 ; 20], f ' (x) est strictement décroissant.
f ' (x) est positif sur ]0 ; \(e^{2}\)[ ,
f ' (x) s'annule pour x = \(e^{2}\) soit environ 0,69.
f ' (x) est négatif sur ]\(e^{2}\) ; 20] (car f ' (x) est environ égal à -2,8)
b. Déterminez le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle ]0 ; 20] et dressez son tableau de variation sur cet intervalle.
La fonction f est croissante sur ]0 ; \(e^{2}\) [ et décroissante sur ]\(e^{2}\) ; 20 ].
4a) Montrez que, sur l'intervalle [0.6 ; 0.7], l'équation f(x) = 0 possède une unique solution notée a. A la calculatrice, donnez une valeur approchée de a à 0,001 près par excès.
D'après le tableau de variation, f(4\(e^{2}\) + 10) = 0, 69 et f(16,5) = 20 et la fonction f est strictement décroissante. Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, f(x) = 0 a une solution unique a dans [0.6 ; 0.7]
Avec la calculatrice on rentre la fonction de f(x) de cette façon (3*e^(2)-X)*ln(X)+10
deb Table = 0.6
pas Table = 0,001
X : 0,628 et Y : -0,0203
X : 0,629 et Y : 0,1439
donc 0,628 < a < 0,629
b) Démontrez que f(x) est négatif pour tout x \(\in\) ]0 ; a[ et que f(x) est positif pour tout x \(\in\) ]a ; 20]
Comment faire cela ?
Je vous remercie pour votre aide, une dernière petite chose.. Est-ce que vous pouvez me dire si la suite de mes résultats sont correct s'il vous plait ?
3) On admet que la fonction dérivée f ' est strictement décroissante sur ]0 ; 20] et que son tableau de variation est le suivant :
Sur l'intervalle ]0 ; 20], f ' (x) est strictement décroissant.
f ' (x) est positif sur ]0 ; \(e^{2}\)[ ,
f ' (x) s'annule pour x = \(e^{2}\) soit environ 0,69.
f ' (x) est négatif sur ]\(e^{2}\) ; 20] (car f ' (x) est environ égal à -2,8)
b. Déterminez le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle ]0 ; 20] et dressez son tableau de variation sur cet intervalle.
La fonction f est croissante sur ]0 ; \(e^{2}\) [ et décroissante sur ]\(e^{2}\) ; 20 ].
D'après le tableau de variation, f(4\(e^{2}\) + 10) = 0, 69 et f(16,5) = 20 et la fonction f est strictement décroissante. Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, f(x) = 0 a une solution unique a dans [0.6 ; 0.7]
Avec la calculatrice on rentre la fonction de f(x) de cette façon (3*e^(2)-X)*ln(X)+10
deb Table = 0.6
pas Table = 0,001
X : 0,628 et Y : -0,0203
X : 0,629 et Y : 0,1439
donc 0,628 < a < 0,629
b) Démontrez que f(x) est négatif pour tout x \(\in\) ]0 ; a[ et que f(x) est positif pour tout x \(\in\) ]a ; 20]
Comment faire cela ?
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sos-math(21)
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Re: Logarithme népérien
Ok pour le début.
Pour appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sur \(]0,6\,;\,0,7[\), il faut :
- calculer f(0,6) et constater que ce nombre est négatif ;
- calculer f(0,7) et constater que ce nombre est positif ;
appliquer le tvi à la fonction f continue et strictement croissante : 0 appartient à l'intervalle image \(]f(0,6)\,;\,f(0,7)[\) donc 0 a un unique antécédent dans \(]0,6\,;\,0,7[\) et donc l'équation f(x)=0 a une unique solution dans \(]0,6\,;\,0,7[\)
Une fois que cela est fait la dernière question est simple à appliquer :
le tvi permet encore d'affirmer que les images de l'intervalle \(]0\,;\,a[\) sont \(]\lim_{x\to 0^+}f(x)\,;\,f(a)[\) qui est intervalle "négatif".
le tvi permet encore d'affirmer que les images de l'intervalle \(]a\,;\,20[\) sont \(]f(a)\,;\,f(20)[\) qui est intervalle "positif".
Je te laisse terminer.
Pour appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sur \(]0,6\,;\,0,7[\), il faut :
- calculer f(0,6) et constater que ce nombre est négatif ;
- calculer f(0,7) et constater que ce nombre est positif ;
appliquer le tvi à la fonction f continue et strictement croissante : 0 appartient à l'intervalle image \(]f(0,6)\,;\,f(0,7)[\) donc 0 a un unique antécédent dans \(]0,6\,;\,0,7[\) et donc l'équation f(x)=0 a une unique solution dans \(]0,6\,;\,0,7[\)
Une fois que cela est fait la dernière question est simple à appliquer :
le tvi permet encore d'affirmer que les images de l'intervalle \(]0\,;\,a[\) sont \(]\lim_{x\to 0^+}f(x)\,;\,f(a)[\) qui est intervalle "négatif".
le tvi permet encore d'affirmer que les images de l'intervalle \(]a\,;\,20[\) sont \(]f(a)\,;\,f(20)[\) qui est intervalle "positif".
Je te laisse terminer.
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Aline
Re: Logarithme népérien
Dites moi si cela est juste s'il vous plait.
4a) f(0,6) = (3\(e^{2}\) - 0,6) ln(0,6) + 10 qui est environ égal à - 1,017.
f(0,7) = (3\(e^{2}\) - 0,7) ln(0,7) + 10 qui est environ égal à 2, 343.
Sur l'intervalle [0.6 ; 0.7], la fonction f est continue et strictement croissante.
De plus, f(0,6) est environ égal à - 1,017 et f(0,7) est environ égal à 2, 343 donc 0 est compris entre -1,017 et 2,343.
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, f (x) = 0 a une unique solution a dans [0.6 ; 0.7]
Dans le tableau de variation fait dans le 3a), l'unique solution a se place au milieu de la flèche de ]0 ; \(e^{2}\)[ ?
4b) Je ne comprend pas je suis désolée :/
4a) f(0,6) = (3\(e^{2}\) - 0,6) ln(0,6) + 10 qui est environ égal à - 1,017.
f(0,7) = (3\(e^{2}\) - 0,7) ln(0,7) + 10 qui est environ égal à 2, 343.
Sur l'intervalle [0.6 ; 0.7], la fonction f est continue et strictement croissante.
De plus, f(0,6) est environ égal à - 1,017 et f(0,7) est environ égal à 2, 343 donc 0 est compris entre -1,017 et 2,343.
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, f (x) = 0 a une unique solution a dans [0.6 ; 0.7]
Dans le tableau de variation fait dans le 3a), l'unique solution a se place au milieu de la flèche de ]0 ; \(e^{2}\)[ ?
4b) Je ne comprend pas je suis désolée :/
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sos-math(21)
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Re: Logarithme népérien
La rédaction est correcte.
Pour la dernière question, je reprends,
comme f est continue et croissante sur\(]0\,;\,20[\), d'après le tvi :
Pour \(x\in]0\,;\,a[\) , alors \(f(x)\in]\lim_{x\to 0^+}f(x)\,;\,f(a)[=]-\infty\,;\,0[\) donc \(f(x)<0\)
De même pour \(x\in]a\,;\,20[\), alors \(f(x)\in]f(a)\,;\,f(20)[=]0\,;\,16,5[\) donc \(f(x)>0\)
Est-ce plus clair ?
Pour la dernière question, je reprends,
comme f est continue et croissante sur\(]0\,;\,20[\), d'après le tvi :
Pour \(x\in]0\,;\,a[\) , alors \(f(x)\in]\lim_{x\to 0^+}f(x)\,;\,f(a)[=]-\infty\,;\,0[\) donc \(f(x)<0\)
De même pour \(x\in]a\,;\,20[\), alors \(f(x)\in]f(a)\,;\,f(20)[=]0\,;\,16,5[\) donc \(f(x)>0\)
Est-ce plus clair ?
-
Aline
Re: Logarithme népérien
Je pense avoir compris.. En détail, est-ce que la rédaction est bonne s'il vous plait ?
La fonction f est croissante sur ]0 ; \(e^{2}\) [ et s'annule en a, donc elle est négative sur ]0 ; a] et positive sur [a ; \(e^{2}\)]
lim ( 3\(e^{2}\) - x) = - \(\infty\)
lim lnx + 10 = - \(\infty\) donc lim f(x) = - \(\infty\)
La fonction f a pour minimum 16,5 qui est > 0 sur [\(e^{2}\) ; 20] donc f(x) est négatif pour tout x \(x\in\) ]0 ; a[ et positif pour tout x \(x\in ]a ; 20[\)
La fonction f est croissante sur ]0 ; \(e^{2}\) [ et s'annule en a, donc elle est négative sur ]0 ; a] et positive sur [a ; \(e^{2}\)]
lim ( 3\(e^{2}\) - x) = - \(\infty\)
lim lnx + 10 = - \(\infty\) donc lim f(x) = - \(\infty\)
La fonction f a pour minimum 16,5 qui est > 0 sur [\(e^{2}\) ; 20] donc f(x) est négatif pour tout x \(x\in\) ]0 ; a[ et positif pour tout x \(x\in ]a ; 20[\)
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SoS-Math(25)
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Re: Logarithme népérien
Bonjour Aline,
La fonction
Et ici l'autre partie, c'est bien.
En revanche, je ne comprends pas :
Quelle est la limite de \(3e^2 - x\) en 0+, quelle est la limite de \(ln(x)\) en 0+ puis, quelle est la limite de \((3e^2 - x)ln(x)\) en 0+ et enfin,
Quelle est la limite de \(f(x)\) en 0+
La fonction
C'est bon. Tu montres ici une partie de ton résultat.Aline a écrit :La fonction f est croissante sur ]0 ; \(e^{2}\) [ et s'annule en a, donc elle est négative sur ]0 ; a] et positive sur [a ; \(e^{2}\)]
Aline a écrit :La fonction f a pour minimum 16,5 qui est > 0 sur [\(e^{2}\) ; 20] donc f(x) est négatif pour tout x \(x\in\) ]0 ; a[ et positif pour tout x \(x\in ]a ; 20[\)
Et ici l'autre partie, c'est bien.
En revanche, je ne comprends pas :
Le "+10" est à la fin du calcul...Aline a écrit :lim ( 3\(e^{2}\) - x) = - \(\infty\)
lim lnx + 10 = - \(\infty\) donc lim f(x) = - \(\infty\)
Quelle est la limite de \(3e^2 - x\) en 0+, quelle est la limite de \(ln(x)\) en 0+ puis, quelle est la limite de \((3e^2 - x)ln(x)\) en 0+ et enfin,
Quelle est la limite de \(f(x)\) en 0+
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Aline
Re: Logarithme népérien
Toutes ces limites sont égales à - l'infini, non ?
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SoS-Math(25)
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Re: Logarithme népérien
Non, pas toutes. (2 sur 3)
Reprends bien les choses car tu fais une double erreur qui te piège...
Bon courage !
Reprends bien les choses car tu fais une double erreur qui te piège...
Bon courage !
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Aline
Re: Logarithme népérien
Je ne comprend pas comment faire, car d'habitude quand on étudie les limites ont a une puissance de n et là il n'y en as pas alors cela me perturbe..
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SoS-Math(25)
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Re: Logarithme népérien
Alors peut-être qu'avec un peu d'aide cela va passer...
La limite de \(x\) lorsque x tend vers 0 est 0... Es-tu d'accord ?
Donc, la limite de \(3e^2 - x\) quand x tend vers 0 est \(3e^2\)... et non pas \(~-\infty\)...
Tu dois savoir aussi que la limite de \(ln(x)\) lorsque x tend vers 0+ est \(~- \infty\)...non ?
Donc, en multipliant ces deux limites, quelle est la limite de \((3e^2 - x)ln(x)\) lorsque x tend vers 0+ ? Puis enfin, la limite de f(x) en 0+.
Tu as raison car la limite de f(x) en 0+ est bien \(~-\infty\) mais ton raisonnement était faux.
Courage !
La limite de \(x\) lorsque x tend vers 0 est 0... Es-tu d'accord ?
Donc, la limite de \(3e^2 - x\) quand x tend vers 0 est \(3e^2\)... et non pas \(~-\infty\)...
Tu dois savoir aussi que la limite de \(ln(x)\) lorsque x tend vers 0+ est \(~- \infty\)...non ?
Donc, en multipliant ces deux limites, quelle est la limite de \((3e^2 - x)ln(x)\) lorsque x tend vers 0+ ? Puis enfin, la limite de f(x) en 0+.
Tu as raison car la limite de f(x) en 0+ est bien \(~-\infty\) mais ton raisonnement était faux.
Courage !
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Aline
Re: Logarithme népérien
La limite de (3e^2-x)lnx est - l'infini et la limite de f(x) est aussi - l'infini.
Merci beaucoup pour vos explications et votre aide !
Merci beaucoup pour vos explications et votre aide !