Devoir Coordonnées d'un vecteur

[Jacques]

Bonjour à vous, voilà j'ai un devoir à rendre pour la rentrée mais je ne sais pas comment procéder et je n'ai pas très bien compris. Le sujet porte sur Coordonnés d'un vecteur...

Il y a 3 exercices, mais je cherche juste que quelqu'un me dise comment commencer et de me dire si ce que je fais est juste :


Ex 1

Dans un repère orthonormé, on donne les points :

A(-1;1) B(3;2) C(-2;5) et D(2;6)

Démontrer que ABCD est :
a) un parallélogramme
b) un carré



Ex 2

Dans un repère, on considère les points :

A(2;-1) B(3;4) et C(-5;2)

Calculer les coordonnées du point M tel que :

(vecteur) MA + (vecteur) MB + (vecteur) MC = (vecteur) 0



MERCI A VOUS

[SoS-Math(1)]

Bonjour,

Pour l'exercice 1 on peut commencer par chercher les coordonnées des vecteurs \(~\overrightarrow{AB}\) et \(~\overrightarrow{DC}\).

Vous ne dîtes dans vos exercices ce que vous avez fait.

A bientôt.

[Jacques]

J'ai remarquer que \(~\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{CD}\) et que \(\overrightarrow{CA}\) = \(\overrightarrow{DB}\) Est-ce cela ?

[SoS-Math(1)]

Bonjour,

Dans votre énoncé, il y a une erreur. Il faut démontrer que ABDC est un parallélogramme et non ABCD.
Il suffit en effet pour cela de prouver que \(~\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\).
Pour démontrer que deux vecteurs sont égaux, on calcule leurs coordonnées. Si elles sont égales, alors c'est gagné.
A bientôt.

[Jacques]

Donc comme les vecteurs font la même longueur alors c'est un parallélogramme !
Mais comment fait-on pour démontrer que c'est aussi un carré ? Merci !

[SoS-Math(1)]

Bonjour,
Il ne faut pas démontrer que les vecteurs ont la même longueur mais qu'ils sont égaux parce qu'ils ont les mêmes coordonnées.
Pour démontrer qu'un parallélogramme est un carré, il faut démontrer qu'il a un angle droit et que deux côtés consécutifs ont la même longueur.
Lorsqu'on connait les coordonnées de deux points, on sait calculer la longueur entre ces deux points.
Pour démontrer qu'il y a un angle droit, on calcule les longueurs et on applique la réciproque du théorème de Pythagore.
A bientôt.

[Jacques]

Merci de ton aide je pense avoir trouvé la bonne réponse !

A ( -1;1 ) B ( 3;2 )

AB = \(\sqrt{( xa - xb )2 + ( ya -yb )2}\)
AB = \(\sqrt{( -1 -3 )2 + ( 1-2 )2}\)
AB = \(\sqrt{17}\)


A ( -1;1 ) C ( -2;5 )

AC = \(\sqrt{( xa -xb )2 + ( ya - yb )2}\)
AC = \(\sqrt{( -1+2 )2 + ( 1-5 )2}\)
AC = \(\sqrt{17}\)


B ( 3;2 ) C ( -2;5 )

BC = \(\sqrt{( 3+2 )2 +( 2+5 )2}\)
BC =\(\sqrt{34}\)


D'après la réciproque du théorème de pythagore :

AB2 = AC2 + BC2

On a donc : \(\sqrt{34}\)2 = \(\sqrt{17}\)2 + \(\sqrt{17}\)2

Donc ABC est un triangle rectangle en A

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Jacques,

tu as bien démontré que tu avais un angle droit.

SoSMath.

[Jacques]

Merci ! Mais pour démontrer que c'est un carré je dois faire quoi encore ? Montrer qu'il y a 4 cotés de même longueur ?

[SoS-Math(9)]

Oui Jacques !

Tu peux aussi démontrer que les diagonales sont perpendiculaires mais c'est plus long !

SoSMath.

[Poonne]

S'il vous plait je ne trouve pas comment on fait pour calculer les longueurs des côtés ?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Poone,

Pour calculer la longueur AB connaissant les coordonnées des points \(A(x_A ;y_A)\) et \(B(x_B ;y_B)\), on a la formule suivante :
\(AB = \sqrt{( x_B - x_A )^2 + ( y_B - y_A )^2}\).

SoSMath.

[Ponne]

MERCIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII !!!!

[SoS-Math(9)]

A bientôt,

SoSMath.