Bonjour,
J'ai un DM à faire et j'aimerai savoir si cette réponse est bonne :
soit f la fonction définie sur l'intervalle [0;+infini[ :
f(x)=3x-1/x+1, on considère la suite définie pour tout entier naturel n par : U0 = 4 et Un + 1 = f(Un)
1) Démontrez que pour tout entier naturel n, 1<Un+1<Un
Pour cette question, j 'ai utilisé la récurrence.
2)En déduire que la suite (Un) est convergente.
J'ai trouvé que la limite de (Un) est 0 et je voulais savoir si c'est bon.
Merci d'avance.
convergence d'une suite
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alexandra
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SoS-Math(9)
- Messages : 6351
- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:10
Re: convergence d'une suite
Bonjour Alexandra,
Non, ta limite est obligatoirement fausse ... en effet tu as montré que Un > 1, donc sa limite (si elle existe) est >= 1.
Il faut montrer que la limite existe et ensuite pour la calculer il faut utiliser un théorème qui te dit que cette limite est solution de l'équation f(x)=x .... (regarde ton cours).
Bon courage,
SoSMath.
Non, ta limite est obligatoirement fausse ... en effet tu as montré que Un > 1, donc sa limite (si elle existe) est >= 1.
Il faut montrer que la limite existe et ensuite pour la calculer il faut utiliser un théorème qui te dit que cette limite est solution de l'équation f(x)=x .... (regarde ton cours).
Bon courage,
SoSMath.
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Alexandra
Re: convergence d'une suite
D'accord , merci.
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sos-math(21)
- Messages : 10401
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: convergence d'une suite
Bonjour,
si tu as montré que \(1<U_{n+1}<U_n\) pour tout entier \(n\), alors cela prouve deux choses : ta suite est décroissante et minorée par 1.
Or dans ton cours, tu as vu qu'une suite décroissante et minorée ....
Ensuite comme ta suite est définie par une relation de la forme \(U_{n+1}=f(U_n)\), alors la limite \(\ell\) de ta suite vérifie \(\ell=f(\ell)\) (voir le cours).
A toi de travailler
si tu as montré que \(1<U_{n+1}<U_n\) pour tout entier \(n\), alors cela prouve deux choses : ta suite est décroissante et minorée par 1.
Or dans ton cours, tu as vu qu'une suite décroissante et minorée ....
Ensuite comme ta suite est définie par une relation de la forme \(U_{n+1}=f(U_n)\), alors la limite \(\ell\) de ta suite vérifie \(\ell=f(\ell)\) (voir le cours).
A toi de travailler