Divisibilité

[Hugo]

Bonsoir

Soit k un entier naturel , a = 9k + 2 et b = 12k + 1. Montrer que les seuls diviseurs positifs communs à a et b sont 1 et 5.

Correction

4a – 3b = 5

Pourquoi la correction ce n'est pas 12a-9b=15 ?

Merci pour vos explications

[sos-math(13)]

parce qu'il faut que les coefficients (généralement notés u et v) soient premiers entre eux.
Ce n'est pas le cas de 12 et 9, mais en divisant par leur pgcd (3), c'est bon.

Bon courage.

[Hugo]

Pourquoi il faut qu'ils sont premiers entre eux ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
Cette égalité est vraie, certes, mais elle ne permet pas de conclure .
Celle proposée par ton professeur est plus restrictive (on a divisé par 3) et elle permet de conclure....
Si tu notes \(d\) un diviseur commun à \(a\) et \(b\), alors
si on a que \(12a-9b=15\), on peut juste dire, que \(d|12a\) et \(d|9b\) et donc que \(d|12a-9b\) donc \(d|15\) mais \(d\) peut être égal à 1, 3, 5 sauf qu'on ne sait pas comment éliminer le 3...
Alors que si on prend l'égalité "réduite", on a avec le même raisonnement \(d|4a-3b\) donc \(d|5\), donc d=1 ou 5.
En arithmétique, si on part mal, c'est difficile de conclure à ce qu'on veut : si on était parti de \(48a-36b=60\), on aurait eu le même problème.
En gros, si tu utilises des combinaisons, assure-toi qu'elles soient les plus simples possibles...
Est-ce plus clair ?

[Hugo]

Merci

Mais pourquoi on veut éliminer le 3 ?
Est-c'est que cette condition a un lien avec le pgcd ?

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

On résume un peu :

d divise a et b donc d divise 12a -9b donc d divise 15, donc d est 1 ou 3, ou 5 ou 15.
Le problème, en écrivant celà, c'est que tu écris quelques chose de juste, mais qui ne réponds pas à la question posée.
ça signifie que les valeurs 12 et -9 ont été mal choisie.

Il faut en choisir d'autres :
d divise a et b donc d divise 4a -3b donc d divise 5, donc d est 1 ou 5.
En faisant le bon choix des coefficients , on a répondu à la question.

Rappel du théorème utilisé :
si d divise a et b, alors pour tout entier u et v, d divise au+bv.

Le fait d'écrire pour tout entier te permet de les choisir.

sosmaths

[Hugo]

Le problème, en écrivant celà, c'est que tu écris quelques chose de juste, mais qui ne réponds pas à la question posée.
ça signifie que les valeurs 12 et -9 ont été mal choisie.

Mais je ne comprends pas pourquoi ça ne répond pas à la question, comment on sait que ça ne répond pas à la question ?

[Hugo]

Ce que je ne comprends pas c'est pourquoi les coefficients u et v doivent être obligatoirement premiers entre eux ?

[SoS-Math(4)]

Comme je l'ai écris dans le message précédent, en prenant 12 et -9 comme coefficient , tu montres qu'un diviseur de a et b est un diviseur de 15. Donc il se pourrait que ce soit 15.
Donc de cette manière tu ne montres pas que les seuls diviseurs sont 1 et 5.

Ce n'est pas nécessaire de prendre u et v premier entre eux . S'ils ne sont pas premiers entre eux, tu peux alors diviser l'égalité obtenue par leur pgcd et obtenir une égalité plus exploitable.

sosmaths

[Hugo]

Si la consigne avait été :
Soit k un entier naturel , a = 9k + 2 et b = 12k + 1. Quels sont les diviseurs positifs communs à a et b ?

On aurait pu écrire
12a-9b=15

Et dire que 15 divise a et b pour tout réel k ?


Merci à vous

[sos-math(21)]

Cela ne change rien.
Tu aurais seulement pu dire qu'un diviseur commun à \(a\) et \(b\) était un diviseur de 15.
Cela ne prouve pas que 15 est un diviseur commun à \(a\) et \(b\).
Je t'invite à relire mon message :

Bonjour,
Cette égalité est vraie, certes, mais elle ne permet pas de conclure .
Celle proposée par ton professeur est plus restrictive (on a divisé par 3) et elle permet de conclure....
Si tu notes \(d\) un diviseur commun à \(a\) et \(b\), alors
si on a que \(12a-9b=15\), on peut juste dire, que \(d|12a\) et \(d|9b\) et donc que \(d|12a-9b\) donc \(d|15\) mais \(d\) peut être égal à 1, 3, 5 sauf qu'on ne sait pas comment éliminer le 3...
Alors que si on prend l'égalité "réduite", on a avec le même raisonnement \(d|4a-3b\) donc \(d|5\), donc d=1 ou 5.
En arithmétique, si on part mal, c'est difficile de conclure à ce qu'on veut : si on était parti de \(48a-36b=60\), on aurait eu le même problème.
En gros, si tu utilises des combinaisons, assure-toi qu'elles soient les plus simples possibles...
Est-ce plus clair ?

Je ne vois pas comment t'expliquer autrement...

[Hugo]

Désolé
J'ai beaucoup de difficultés avec cet exercice

Ce que je ne comprends pas c'est pourquoi il faut choisir des nombres premiers entre eux et non des nombres quelconques qui permettent d'enlever k ?
Quelle est la règle qui dit que les coefficients doivent être premiers entre eux pour pourvoir trouver directement les bons diviseurs ?

[sos-math(21)]

Il n'est pas nécessaire de prendre le nombre premiers entre eux, l'objectif étant d'obtenir une égalité exploitable, c'est-à-dire avec un résultat suffisamment "petit" pour que l'on puisse obtenir des informations précises sur les diviseurs communs aux deux nombres.
Je ne comprends pas ce que tu cherches à déterminer avec ces nombres premiers entre eux.