DM - Suite arithmético-géométrique

[Noah]

Bonjour !

Tentant de résoudre l'exercice 1 d'un DM portant sur les suites numériques je me retrouve bloqué à la question 6 dont voici l'intitulé :

"On défini la suite (Vn) par Vn = Un-6. Donner la formule explicite de (Vn), puis en déduire celle de (Un)"

Données : Uo = 1 ; Un+1 = (1/2)Un+3

Dans ma démarche je commence tout d'abord par montrer la nature de la suite (Vn), soit d'après mes calculs : une suite géométrique de raison p = 1/2
Dans un second temps, je calcule le 1er terme de cette suite, soit Vo en partant de la formule Vn = Un-6 et j'arrive à Vo = -5
Ensuite pas de problème pour déduire la formule explicite de (Vn), soit : Vn = -5 x (1/2)^n ( ^ = puissance)

Mon problème réside dans la deuxième partie, déduire la formule explicite de Un. Je ne sais pas du tout comment faire. C'est pour ça que, s'il vous plait, je requiert votre aide.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Noah,

Tu as fait le plus dur ... en trouvant \(v_n\) en fonction de n.
Pour trouver \(u_n\) en fonction de n, utilise Vn = Un-6 ...

SoSMath.

[Noah]

Oui, c'est que j'avais essayé de faire mais le résultat me paraissait "bizarre" :

Vn = Un-6
Un = Vn+6
Un = \((-5x(1/2)^n)+6\)

Ah je sais ! Enfin je crois, tout est dans le titre du DM ! "Suite arithmético-géométrique" (Un) en est une et sa limite l = 6 !
Mais pourquoi cette limite est 6 ?
Merci de votre aide en tout cas

[SoS-Math(9)]

Noah,

cela vient du théorème : \(\lim\limits_{n \to +\infty} q^n=0\) si \(q\in ]-1;1[\).

Et ici \(0,5\in ]-1;1[\)...

SoSMath.

[Noah]

Je ne connais pas ce théorème...

Et justement, dans la question suivante il est demandé d'expliquer pourquoi les termes de la suite (Un) tendent vers 6 plus n est grand. Dois je utiliser ce théorème ? Si oui, je dois en faire la démonstration sinon ma justification n'a aucune valeur.

[SoS-Math(9)]

Noah,

Je ne sais pas ce que tu as fait en classe ... donc tu as le choix : soit tu admet ce théorème, soit tu le démontres !
Pour le Bac, ce théorème est à savoir ...
Si tu veux faire la démonstration, regarde dans un livre de terminale S et tu la trouveras.

SoSMath.

[Noah]

Justement, en classe nous n'avons pas étudié les suites arithmético-géométrique. Ce DM est sensé, je crois, être l'amorce du cours.
Mais je pense pouvoir me débrouiller à présent. Et si jamais le besoin me prenait, je créerai un autre sujet.
Merci de votre aide en tout cas, bonne soirée, et bonne nuit.

[SoS-Math(9)]

Bon courage pour la suite Noah.

SoSMath.