Nombres complexes

[Dipsi]

Bonjour,
j'ai un devoir maison de mathématiques sur les nombres complexes. J'ai traîté plusieurs questions, parfois en entières, parfois partiellement car je suis bloqué ...

Tout d'abord le premier exercice consiste à passer à une forme exponentielle pour Z1 = -2e ^i(pi/2) et Z2 = ie ^i(pi/3)
Donc je ne suis pas totalement convaincu de mes résultats que voici : Z1 = 2e ^i(3pi/2) et Z2 = e ^i(5pi/6) ... Je pense avoir utilisé la bonne méthode (je suis passé par l'écriture trigonométrique)
Ensuite, je dois faire (Z1)^3 donc ça fait 2e ^i(3x3pi/2), c'est bien ça ? Je multiplie têta par la puissance...

Puis, je dois donner la forme algébrique du nombre ((-1+i)^4)x((3+3i racine de 3)^6)
Donc là j'ai voulu calculer le module du 1er facteur puis celui du 2nd pour obtenir le module de l'expression, puis pareil pour l'argument (sauf qu'il faut additionner) mais j'obtiens des résultats farfelus ... Module = 4x6^6 et un argument tout petit.
Or la consigne me demande de passer par la forme exponentielle pour résoudre le problème donc je ne suis pas sur la bonne voie ... et je ne vois vraiment pas comment faire.

Enfin, je dois déterminer les entiers n tels que : ((racine de 6 + 2 i racine de 2)^n ) est un réel ...
On me conseille d'utiliser l'écriture exponentielle ou les arguments donc en passant par les arguments je dois chercher un arg = 0 (modulo pi) pour que l'expression soit réelle.
D'où n x arg (racine de 6 + 2 i racine de 2)v = 0 (pi)
C'est ça non ? Car pour la suite je suis bloqué ...

Merci beaucoup pour votre aide et bonne après-midi ensoleillé !

[sos-math(21)]

Bonjour,
On peut aller vite en remarquant que -1 est le complexe qui correspond à (-1,0) dans le plan complexe et qui a pour argument \(\pi\) donc \({-}1=e^{i\pi}\), il reste ensuite à mettre les exponentielles ensemble.
Pour le deuxième c'est pareil, \(i\) est l'affixe du point \((0\,;\,1)\) donc \(i=e^{i\frac{\pi}{2}}\) tes écritures de Z1 et Z2 semblent correctes.
En revanche, si tu prends le cube de Z1, il faut tout mettre au cube, même le module : \(Z_1^3=2^3e^{i\frac{9\pi}{2}}\)
Pour ton calcul, je te conseille de mettre les deux nombres \(1+i\) et \(3+3i \sqrt{3}\) sous forme trigonométrique avant d'élever à la puissance.

Pour l'autre, c'est la même chose ; trouve l'écriture exponentielle de \(\sqrt{6}+2i\sqrt{2}\)
Bon courage, pour reprendre cela.

[Dipsi]

J'ai suivi vos conseils et ça me donne ceci ... C'est bien ?

Mais pour la dernière question pour trouver n je ne réussis pas à trouver directement la forme exponentielle donc j'ai voulu passer par la forme trigo mais je trouve des résultats bizarres ...

[sos-math(21)]

Bonjour,
cela m'a l'air correct.
Pour l'autre, il faut que tu passes par la forme exponentielle : calcule le module et déduis-en l'argument....
Bon courage

[Dipsi]

Mais c'est justement ce que je vous ai montré : sur la 2 ème photo j'ai calculé module et argument respectivement racine de 14 et pour l'argument je fais cos = x / module et sin = x / module et j'obtiens des résultats étranges comme vous pouvez le voir ...

[Dipsi]

En fait c'est qu'il y avait une erreur dans l'énoncé, mon professeur nous l'a faite corriger.
Donc je trouve un module = 4 et arg = pi/4 en considérant (2racine de 2 + 2 i racine de 2) ^n
A partir de cela je devrais trouver ...

[sos-math(21)]

Très bien, je te laisse chercher.
Bon courage

[Dipsi]

Donc là il suffit que je dise que comme arg = pi/4 je cherche n x pi/4 = 0 (modulo pi) ? Ça ferait n = 0 ou n = 4 ainsi que tous ses multiples ...
C'est suffisant comme justification ? Ou dois-je aussi dire que pour que l'expression soit réelle il faut qu'elle soit égale à 0 (mais un nombre puissance ( x ) = 0 ça n'existe pas ...

[sos-math(21)]

Bonsoir,
on a bien \(Z=(2\sqrt{2}+i2\sqrt{2})=4e^{i\frac{\pi}{4}}\) donc \(Z^n=4^ne^{i\frac{n\pi}{4}}\)
donc un complexe étant réel lorsque son argument vaut 0 à \(\pi\) donc on peut très bien écrire aussi \(\frac{n\pi}{4}=0\,[\pi]\) donc en multipliant par 4 et en divisant par \(\pi\), on a \(n=0\,[4]\), cela signifie que l'on va prendre les multiples de ...
Bon courage.