Dénombrement

[man]

Bonsoir, j'ai du mal à faire cet exercice :

1. Dans un sac, on place 5 jetons rouges, 5 jetons blancs et 5 jetons verts, numérotés de 1 à 5 dans chacune des couleurs. Du sac, on tire 5 jetons. Calculer le nombre de tirages répondant aux trois conditions suivantes :
a) Tirage avec deux jetons verts exactement
b) tirages avec au moins deux numéros identiques

Répondre aux questions dans le cas de tirages successifs avec remise, tirages successifs sans remise et tirage simultanés.

J'ai fait :

Pour le tirage simultané : a) (2 parmi 5)*(3 parmi 10)

Merci de m'expliquer !

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Pour le deuxième "événement", je te conseille de raisonner sur le contraire : compte les tirages qui ont tous des numéros différents, et ensuite tu en déduiras les tirages avec au moins deux numéros identiques.
Pour le tirage avec remise, parmi les \(15^5\) possibilités de tirage de 5 boules, on considère celles qui contiennent exactement deux boules vertes : 5 possibilités pour la première boule verte, 5 possibilités pour la deuxième boule verte puis 10 possibilités pour la troisième boule puis 10 pour la quatrième et encore 10 pour la 5ème : à toi de voir combien de possibilités cela fait.
Essaie de réfléchir un peu seul, c'est important de faire des démarches personnelles sur le dénombrement.
Bon courage

[man]

d'accord et merci.

Alors :

Pour les tirages avec remises:

a) 15^5 possibilités au total. Tirage de deux jetons verts exactement : 5²*10*10*10
b) Tirages avec au moins deux numéros identiques : complémentaires : tirages avec aucun numéros identiques donc : si 1 au premier, alors 2 au deuxième puis 3...donc 5! donc 15^5-5!

Pour les tirages sans remises:
a) il y a A^5 15 arrangements (le 15 étant en indice et le 5 au dessus)
b) A^5 15 - Aucun numéros identiques : A^5 15 - A^5 5 ?

Pour les tirages simultanés :
a) (2parmi5)*(3parmi10)
b) (2parmi5)(3parmi10)-(1 parmi 5)

Je ne suis pas certaine de mes réponses pour les questions b)

[sos-math(21)]

Pour le dernier tirage,
l'ensemble des tirages simultanés de cinq boules est une combinaison de 5 parmi 15.
Ensuite pour les tirages avec des numéros tous différents
Un tirage de numéros tous différents est une combinaison formé d'un 1, d'un 2, d'un 3 d'un 4 et d'un 5.
Combien a-t-on de possibilités de tirer un 1 parmi l'ensemble des 1 existants ?
De même pour les autres numéros...
Bon courage

[man]

oui pour le parmi 15 erreur de frappe...

pour tirer un 1 parmi l'ensemble des 1 existants soit en tout trois 1 donc :

Pour tirages simultanés :

b) (2 parmi 15 )* (3 parmi 10)-(1parmi3)^5

[sos-math(21)]

Cela doit être cela ....
Bon courage

[man]

d'accord, par contre je ne vois pas comment faire de même pour la b) des tiragse avec remise et sans remise

[sos-math(21)]

Bonjour,
Réfléchis sur le même mode de fonctionnement, en regardant le nombre de tirages possibles et le nombre de tirages contenant des numéros tous différents.
Bon courage

[man]

donc :

Pour le tirage successif avec remise :

b) compléemntaire : tirages avec au plus 1 numéro identique donc soit 0 ou soit 1.

Donc : 15^5 - (5*5*5 + 5*4*5)

Tirage successif sans remise :

b) Complémentaire : tirage avec au plus numéro identique donc soit 0 ou 1 :
A (5 15) - (A(0 5)+A 3 5)

[sos-math(21)]

Bonjour,
je ne suis pas d'accord avec ton raisonnement :
Cela n'a pas de sens de parler de 0 ou 1 numéro identique : on a deux cas disjoints
- ou bien tous les numéros sont distincts, c'est-à-dire qu'on a 1,2,3,4,5 nécessairement dans le tirage (la couleur n'est donc pas à prendre en compte) ;
- ou bien on est dans le cas contraire et dans ce cas, on peut avoir deux numéros identiques, trois numéros identiques, deux paires de numéros identiques, un triplet et un doublon ... Tu vois bien que le dénombrement est très difficile dans ce cas là.
Pour les tirages avec ou sans remise, comme dans l'autre, raisonne sur par numéro possible au premier tirage, puis au second, et ainsi de suite.
Bon courage

[sos-math(21)]

Bonjour,
je complète mes messages pour les tirages :
Pour le tirage des deux jetons verts sans remise, les jetons étant distincts, on utilise les arrangements donc l'ordre intervient :
Dans un tirage de 5 jetons,
1) on choisit d'abord l'emplacement des deux jetons verts : \(\binom{5}{2}\)
2) on choisit ensuite les deux jetons verts parmi les 5 : \(A_5^2=20\)
3) on choisit ensuite les 3 derniers jetons parmi les 10 non verts : \(A_{10}^5=30240\)
On multiplie ensuite l'ensemble.
est-ce plus clair ?

[man]

oui ça l'est merci.

et pour la b) du tirage sans remise, j'ai trouvé : réponse du a) - (15*12*9*6*3)

[sos-math(21)]

Bonjour,
Pour la b) sans remise, on part encore de toutes les possibilités : \(A_{15}^5\).
ensuite, il faut enlever les tirages avec des numéros tous différents : pour le 1 trois possibilités, pour le 2 aussi, .... pour le 5 aussi, ensuite il faut choisir l'emplacement de chacun de ces nombres : 5! .
Pour les tirages simultanés : \(\binom{15}{5}-3^5\)
A toi de voir...
Bon courage

[man]

bonjour,

d'accord donc pour que ça soit plus clair , je résume tout ce que vous m'avez dit (faites moi savoir si c'est juste) :

Cas avec tirages successifs et avec remise :
a) 15^5 tirages possibles
b) Complémentaire donc 15^5 - (15*12*9*6*3)

Cas avec tirages successifs sans remise :
a) (2parmi5)*(arrangement 2 dans 5)*(arrangement (3 parmi 10)
b) Arrangement (5 parmi 15)-5!

Cas avec tirages simultanés :
a) (2 parmi 5)(3 parmi 10)
b) (5 parmi 15)-3^5

[sos-math(21)]

Bonjour,
Je te cite :

bonjour,

d'accord donc pour que ça soit plus clair , je résume tout ce que vous m'avez dit (faites moi savoir si c'est juste) :

Cas avec tirages successifs et avec remise :
a) 15^5 tirages possibles
b) Complémentaire donc 15^5 - (15*12*9*6*3) : c'est le même raisonnement que pour les tirages sans remise, car on ne doit pas retomber sur la boule tirée : c'est comme si on l'enlevait et on a 5!3*3*3*3*3=15*12*9*6*3=29160

Cas avec tirages successifs sans remise :
a) (2parmi5)*(arrangement 2 dans 5)*(arrangement (3 parmi 10)
b) Arrangement (5 parmi 15)-5!le nombre de tirages avec des numéros tous différents, c'est 5!*3*3*3*3*3

Cas avec tirages simultanés :
a) (2 parmi 5)(3 parmi 10)
b) (5 parmi 15)-3^5

ok pour le reste, je pense que c'est bon