Fonction exponentielle

[guillaume]

Bonjour j'ai du mal a avancer dans mon exercice que voici :

Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 1 - ( ( 4exp(x)) / ( exp(2x) +1 ))

L'objet de cet exercice est de démontrer certaines propriétés de la fonction f que l'on peut conjecturer à partir du graphique obtenue a la calculatrice.

1)La droite d'équation x =0 semble être un axe de symétrie de la courbe C .

Démontrer que cette conjecture est vraie.

2) La fonction f semble croissante sur l'intervalle [0;+ infini [
A) Vérifier que pour tout réel de x , f ' (x) est du même signe que exp(2x) -1
B) Justifier que exp(2x) - 1 est positif fleche dans les deux sens x positif.
C) En déduire le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [ 0;+infini[

Voici ce que j'ai fais :
Pour la question 1 je me demande s'il ne faut pas calculer la tangente de la courbe ? (Pour cela faudra calculer f ' (x) et faire avec la formule y = f ' (a ) + p )
Pour la question 2 A j'ai déjà calculé la dérivée et je suis sur que c'est le bon résultat. Faut-il faire un tableau de signe maintenant pour montrer que f ' (x) est du même signe que exp(2x) -1 ?
Pour la question 2 B la je ne vois pas ...
Pour la question 2C La on fera on tableau de variation en fonction des résultats précédent .

Je vous remercie d'avance pour votre aide :)

[sos-math(22)]

Bonjour,

Pour la question 1, il faut montrer que : \(f(-x)=f(x)\) pour tout \(x\) réel.

Pour la question 2A, un logiciel de calcul formel me donne le résultat suivant :

\(f'(x)=4e^{x}\frac{e^{2x}-1}{\left( e^{2x}+1\right) ^{2}}\)

Bonne continuation.

[guillaume]

Merci pour votre rapidité.
Pour la question 1 voici ce que j'ai fais :

f(x) = 1 - ( 4 exp(x) / exp(2x)+ 1 )
f(-x) = 1 - ( 4exp(-x)/exp(2-x)+1)

f(x) - f(-x) = 1 - ( 4 exp(x) / exp(2x)+ 1 ) - [ 1 - ( 4exp(-x)/exp(2-x)+1)]
f(x) - f(-x) = - 4exp(x)/ exp(2x)+1 + 4 exp(-x)/exp(-2x)+1
f(x) - f(-x) = 0

Donc f(x) et f(-x) s'annule , donc f(x) = f(-x) .

Pour la question 2 j'ai bien trouvé la même dérivée que vous m'avez donné .
Par contre Faut-il faire un tableau de signe maintenant pour montrer que f ' (x) est du même signe que exp(2x) -1 ?
Pour la question 2 B la je ne vois pas ...Comment peut-on faire ?
Pour la question 2C La on fera on tableau de variation en fonction des résultats précédent .

Merci d'avance.

[SoS-Math(25)]

Bonjour Guillaume,

Tu n'as pas forcément besoin d'un tableau de variation mais, dans tous les cas, il te faut le signe de \(f '\)sur \([0;+\infty[\).

Regarde le dénominateur de \(f '\), que peux-tu dire de son signe ? et le signe de \(4e^x\) ? ... cela va te permettre de repondre à la question 2A.

Pour la 2B La double flèche "<=>" veut dire "si et seulement si". Donc, il faut démontrer que \(e^{2x}-1 \geq 0\) pour tout \(x \in [0;+\infty[\) et seulement dans cet intervalle.

Pour la 2C, il suffit de conclure à l'aide du signe de \(f '\) sur \([0;+\infty[\).

En fait, il faut que tu montres que \(f '\) est positive sur \([0;+\infty[\) dans toute la question 2 puis conclure sur le fait que \(f\) est croissante sur cet intervalle.

Bon courage !

[guillaume]

Merci de votre réponse.

Donc pour la question j'ai eu bon super.

Maintenant la question 2 A:
Le signe de exp (2x) -1 est positive pour l'intervalle [0;+infini[ et négative pour l'intervalle [-inifini;0[
Le signe de 4exp(x) est positive.
Donc f'(x) est positive pour l'intervalle [0;+infini[ et négative pour l'intervalle [-inifini;0[
Est ce cela ?

Pour la question 2B et 2C j'ai compris comment il fallait faire grâce a votre conseil .

merci

[SoS-Math(25)]

C'est cela, reste à conclure.

Bon courage !

[guillaume]

Merci j'ai terminé le sujet peut se clore.

[sos-math(22)]

Je le clôture,
Bonne continuation.