Logarithme

[Axel]

Bonjour, je suis en terminal s . J'ai un devoir maison a rendre .

Voici le sujet :
F(x)=(( ln(x)/1+(x au carre))

Il faut démontrer que pour tout x appartenant à l'intervalle ]1,+l'infini [ que 0<f(x)<( ln(x)/(x au carre) )

Je ne sais pas trop comment faire . Je partirai pour un encadrement de x et d'aller vers f(x) . Mais je ne sais pas quel encadrement faut il prendre .

Pouvez vous m'aider ?

[SoS-Math(25)]

Bonjour Axel,

\(f(x) = \frac{ln(x)}{1 + x^2}\) ... est-ce cela ?

Pour commencer, \(ln(x) > 0\) pour tout \(x \in ]1;+\infty[\).

Ensuite, \(1 + x^2 > 0\) pour tout \(x \in ]1;+\infty[\).

Tu peux donc démontrer la première inégalité... \(0 < f(x)\).


Pour la deuxième, tu peux partir de \(x^2 < 1 + x^2\)...

Bon courage !

[Axel]

Comme vous me l'avez dit ln(x)>0 et aussi 1+x^2>o
Donc 0< f(x)

Pour la deuxième inégalité :

X^2< (1+x^2)
(1/x^2)> (1/(1+x^2))
Donc ln(x)/x^2 > ln(x)/ ( 1+ x^2)

[sos-math(21)]

Bonjour,
En effet il faut passer à l'inverse et comme la fonction inverse est décroissante sur \(]0\,;\,+\infty[\), elle change l'ordre de l'inégalité.
Bon courage pour la suite

[Axel]

Merci

Je dois en déduire la lim f(x) quand x tend vers + l'infini

Je pensais faire le théorème des gendarmes .
Je sais que la lim de ln(x)/ x = 0 quand x tend vers + l'infini . Mais au dénominateur j'ai x^ 2 . Donc je ne sais pas encore faire .

Pouvez vous m'aider ?

[sos-math(21)]

As-tu vu les croissances comparées ?
Il y a une limite qu'on donne en cours
\(\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln(x)}{x^{a}}=0\) pour tout réel \(a>0\)
Sinon, si tu sais seulement que \(\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x}=0\), alors tu peux écrire : \(\frac{\ln(x)}{x^2}=\frac{1}{x}\times\frac{\ln(x)}{x}\)
Et comme tu sais que \(\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0\), la conclusion est facile...
Bon courage

[Axel]

Merci beaucoup

[sos-math(21)]

Bon courage pour la suite.