Bonjour à tous :)
Alors voilà, j'ai un dm sur la méthode d'Archimède. J'ai très bien compris le système utilisé, sauf que je n'arrive pas à calculer le périmètre du polygone exinscrit au cercle (qui est trigo) !
Avec un hexagone, par exemple, je veux trouver tout d'abord la longueur d'un côté (que j'appelle c).
Du coup, j'utilise Pythagore pour ça:
\(a^2=b^2+\frac{c^2}{4}\) (avec a l’hypoténuse)
OR b=1, car c'est un cercle trigonométrique.
Le truc, c'est que je suis incapable de trouver a.
J'ai été me renseigner, et j'ai trouvé que \(a=\frac{1}{cos(\frac{\pi}{3\times 2^n})}\). Je cherche pourquoi.
Note: dans mon dm, on augmente pas de un côté à chaque fois les polygones inscrit et exinscrit, mais de \(3\times 2^n\) (pour aller plus vite surement)
Voilà, j'aimerais juste avoir une aide pour progresser convenablement :)
Merci, bonne soirée.
Périmètre d'un polygone exinscrit
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Anna
Périmètre d'un polygone exinscrit
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SoS-Math(9)
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Re: Périmètre d'un polygone exinscrit
Bonsoir Anna,
L'angle au centre d'un "tour" complet mesure \(2\pi\).
Si tu as 6 côtés, alors les 6 angles au centre mesureront \(\frac{2\pi}{6}\).
Mais chaque angle est divisé par 2 pour obtenir ton triangle rectangle, donc l'angle de la figure mesure \(\frac{2\pi}{12}=\frac{\pi}{6}\).
Donc si tu as \(3\times 2^n\) côtés, alors l'angle mesurera \(\frac{\pi}{3\times 2^n}\).
Enfin rappelles toi la formule du cosinus d'un angle dans un triangle rectangle, cela ta donnera a ...
SoSMath.
L'angle au centre d'un "tour" complet mesure \(2\pi\).
Si tu as 6 côtés, alors les 6 angles au centre mesureront \(\frac{2\pi}{6}\).
Mais chaque angle est divisé par 2 pour obtenir ton triangle rectangle, donc l'angle de la figure mesure \(\frac{2\pi}{12}=\frac{\pi}{6}\).
Donc si tu as \(3\times 2^n\) côtés, alors l'angle mesurera \(\frac{\pi}{3\times 2^n}\).
Enfin rappelles toi la formule du cosinus d'un angle dans un triangle rectangle, cela ta donnera a ...
SoSMath.
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Anna
Re: Périmètre d'un polygone exinscrit
Pour le \(\frac{\pi}{3\times 2^n}\), j'avais compris auparavant.
Merci, c'était tout simple... J'ai honte de ne plus me rappeler mes formules de collège...
Juste un dernière question (de méthode en particulier).
On détermine par la suite les demi-périmètres des polygones inscrit et exinscrit, à savoir pour l'inscrit: \(i_n=3\times 2^n\times sin(\frac{\pi}{3\times 2^n})\), et pour l'exinscrit: \(e_n=3\times 2^n\times tan(\frac{\pi}{3\times 2^n})\)
J'ai réussi à les démontrer (il me manquait que la valeur du a pour \(e_n\)
Seulement, plusieurs questions après, on pose \(2\alpha_n=\frac{\pi}{3\times 2^n}\) et on exprime les demi-périmètres en fonction de ça. Après, on remarque que: \(2\alpha_{n+1}=\alpha_n\) et il faut démontrer pour tout entier naturel n, que:
\(e_{n+1}=\frac{2i_ne_n}{i_n+e_n}\) et puis que \(i_{n+1}=\sqrt{i_ne_{n+1}}\)
J'ai testé une récurrence: je m'embrouille.
J'ai testé un développement: je m'embrouille.
Cependant je ne sais pas trop quelle méthode je dois utiliser pour gagner du temps. De plus j'ai peur de passer à côté de quelque chose (même en utilisant la relation avec \(2\alpha_n\).
Voilà, je voudrais juste que vous m'indiquer la meilleure méthode, pour que je force le passage un peu (sans que vous me donniez la solution, bien entendu, on est toujours plus heureux quand on réussi seul)
Merci et bonne soirée !
Merci, c'était tout simple... J'ai honte de ne plus me rappeler mes formules de collège...
Juste un dernière question (de méthode en particulier).
On détermine par la suite les demi-périmètres des polygones inscrit et exinscrit, à savoir pour l'inscrit: \(i_n=3\times 2^n\times sin(\frac{\pi}{3\times 2^n})\), et pour l'exinscrit: \(e_n=3\times 2^n\times tan(\frac{\pi}{3\times 2^n})\)
J'ai réussi à les démontrer (il me manquait que la valeur du a pour \(e_n\)
Seulement, plusieurs questions après, on pose \(2\alpha_n=\frac{\pi}{3\times 2^n}\) et on exprime les demi-périmètres en fonction de ça. Après, on remarque que: \(2\alpha_{n+1}=\alpha_n\) et il faut démontrer pour tout entier naturel n, que:
\(e_{n+1}=\frac{2i_ne_n}{i_n+e_n}\) et puis que \(i_{n+1}=\sqrt{i_ne_{n+1}}\)
J'ai testé une récurrence: je m'embrouille.
J'ai testé un développement: je m'embrouille.
Cependant je ne sais pas trop quelle méthode je dois utiliser pour gagner du temps. De plus j'ai peur de passer à côté de quelque chose (même en utilisant la relation avec \(2\alpha_n\).
Voilà, je voudrais juste que vous m'indiquer la meilleure méthode, pour que je force le passage un peu (sans que vous me donniez la solution, bien entendu, on est toujours plus heureux quand on réussi seul)
Merci et bonne soirée !
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SoS-Math(9)
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Re: Périmètre d'un polygone exinscrit
Anna,
Pour répondre à ta question il faut utiliser les formules de trigonométrie ...
Tu as par définition \(e_{n+1}=3\times 2^{n+1}\times tan(2\alpha_{n+1})=3\times 2^{n+1}\times tan(\alpha_{n})\) car \(2\alpha_{n+1}=\alpha_n\).
Ensuite tu calcules \(\frac{2i_ne_n}{i_n+e_n\) et il faut que tu trouves \(3\times 2^{n+1}\times tan(\alpha_{n})\).
C'est pendant ce calcul qu'il va falloir utiliser les formules suivantes :
\(sin(2a)=2sin(a)cos(a)\)
\(cos(2a)+1=2cos^2(a)\).
Bon courage,
SoSMath.
Pour répondre à ta question il faut utiliser les formules de trigonométrie ...
Tu as par définition \(e_{n+1}=3\times 2^{n+1}\times tan(2\alpha_{n+1})=3\times 2^{n+1}\times tan(\alpha_{n})\) car \(2\alpha_{n+1}=\alpha_n\).
Ensuite tu calcules \(\frac{2i_ne_n}{i_n+e_n\) et il faut que tu trouves \(3\times 2^{n+1}\times tan(\alpha_{n})\).
C'est pendant ce calcul qu'il va falloir utiliser les formules suivantes :
\(sin(2a)=2sin(a)cos(a)\)
\(cos(2a)+1=2cos^2(a)\).
Bon courage,
SoSMath.
-
Anna
Re: Périmètre d'un polygone exinscrit
Merci bien, j'ai réussi du coup.
Encore une question (et après je vous laisse promis !), pour étudier les variations de (In) et (en), dois je utiliser la dérivée ?
Je viens de faire la dérivée pour In, et je trouve donc que la suite est croissante (logique en meme temps) mais je n'y arrive pas tellement pour En (je trouve croissant alors que ca devrait etre l'inverse).
Merci encore,
Bonne soirée.
Encore une question (et après je vous laisse promis !), pour étudier les variations de (In) et (en), dois je utiliser la dérivée ?
Je viens de faire la dérivée pour In, et je trouve donc que la suite est croissante (logique en meme temps) mais je n'y arrive pas tellement pour En (je trouve croissant alors que ca devrait etre l'inverse).
Merci encore,
Bonne soirée.
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SoS-Math(9)
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Re: Périmètre d'un polygone exinscrit
Anna,
tu ne peux pas dériver une suite !
\((I_n)\) et \((e_n)\) sont des suites ...
Pour étudier leurs variations, il faut déterminer le signe de \(I_{n+1}-I_n\) et \(e_{n+1}-e_n\) ou bien faire une récurrence ...
ou bien si \(e_n=f(n)\) où\(f\) est une fonction à déterminer, alors \((e_n)\) et \(f\) ont les mêmes variations.
SoSMath.
tu ne peux pas dériver une suite !
\((I_n)\) et \((e_n)\) sont des suites ...
Pour étudier leurs variations, il faut déterminer le signe de \(I_{n+1}-I_n\) et \(e_{n+1}-e_n\) ou bien faire une récurrence ...
ou bien si \(e_n=f(n)\) où\(f\) est une fonction à déterminer, alors \((e_n)\) et \(f\) ont les mêmes variations.
SoSMath.
-
Anna
Re: Périmètre d'un polygone exinscrit
Ah oui en effet :) !
On a maintenant les bonnes solutions.
Dîtes, comment faîtes vous pour trouver la limite de ces 2 suites par rapport aux formules e(n+1) et i(n+1) ? Je sais qu'on doit trouver Pi, et que je dois utiliser le fait que lim e(n+1)=lim en=lim i(n+1)=lim in=l , mais quand je resoud l'equation, je me
retrouve avec l=l !
Il me reste juste ça et j'ai fini
Merci encore et bonne journée !
On a maintenant les bonnes solutions.
Dîtes, comment faîtes vous pour trouver la limite de ces 2 suites par rapport aux formules e(n+1) et i(n+1) ? Je sais qu'on doit trouver Pi, et que je dois utiliser le fait que lim e(n+1)=lim en=lim i(n+1)=lim in=l , mais quand je resoud l'equation, je me
retrouve avec l=l !
Il me reste juste ça et j'ai fini
Merci encore et bonne journée !
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SoS-Math(9)
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- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:10
Re: Périmètre d'un polygone exinscrit
Bonjour Anna,
Pour trouver la limite de la suite \((e_n)\) il faut encadrer la fonction sinus ...
Voici l'encadrement (à démontrer !) : pour tout \(x \geq 0\), \(x-\frac{x^3}{6} \leq sin(x) \leq x\).
SoSMath.
Pour trouver la limite de la suite \((e_n)\) il faut encadrer la fonction sinus ...
Voici l'encadrement (à démontrer !) : pour tout \(x \geq 0\), \(x-\frac{x^3}{6} \leq sin(x) \leq x\).
SoSMath.
-
sos-math(21)
- Messages : 10401
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Périmètre d'un polygone exinscrit
Bonjour,
Tu as par construction des polygones,
\(i_n\leq \pi\leq e_n\),
il faudrait ensuite montrer que ta suite \((i_n)\) est croissante, que ta suite \((e_n)\) est décroissante et que leur différence tend vers 0 (c'est-à-dire qu'elles ont la même limite.
Cela donnera automatiquement que la limite est le nombre "coincé" entre les deux suites, c'est-à-dire \(\pi\).
Pour le faire proprement, il faudrait d'abord établir un résultat préalable : \(\mbox{pour} x\in\left[0\,;\,\frac{\pi}{2}\right], x-\frac{x^3}{6}\leq \sin(x)\leq x\) (on peut le faire avec une étude de fonction).
Puis appliquer ce résultat à la suite \((i_n)\)avec \(x=\frac{\pi}{3\times 2^n}\), tu aurais \(\pi-\frac{\pi^3}{54\times 2^{2n}}\leq i_n\leq \pi\) et en passant à la limite quand \(n\mapsto +\infty\), on aurait \(\mi_{n\to +\infty}i_n=\pi\)
ce n'est pas si simple que cela si on veut le faire rigoureusement.
Bon courage
Tu as par construction des polygones,
\(i_n\leq \pi\leq e_n\),
il faudrait ensuite montrer que ta suite \((i_n)\) est croissante, que ta suite \((e_n)\) est décroissante et que leur différence tend vers 0 (c'est-à-dire qu'elles ont la même limite.
Cela donnera automatiquement que la limite est le nombre "coincé" entre les deux suites, c'est-à-dire \(\pi\).
Pour le faire proprement, il faudrait d'abord établir un résultat préalable : \(\mbox{pour} x\in\left[0\,;\,\frac{\pi}{2}\right], x-\frac{x^3}{6}\leq \sin(x)\leq x\) (on peut le faire avec une étude de fonction).
Puis appliquer ce résultat à la suite \((i_n)\)avec \(x=\frac{\pi}{3\times 2^n}\), tu aurais \(\pi-\frac{\pi^3}{54\times 2^{2n}}\leq i_n\leq \pi\) et en passant à la limite quand \(n\mapsto +\infty\), on aurait \(\mi_{n\to +\infty}i_n=\pi\)
ce n'est pas si simple que cela si on veut le faire rigoureusement.
Bon courage
-
Anna
Re: Périmètre d'un polygone exinscrit
D'accord merci bien. Je pense avoir compris l'ensemble, seulement, je ne comprends pas comment on peut obtenir x-x^3/6 < sin x (a part si on fait la différence, mais cela serait étrange de sortir une différence comme ça sur ma feuille sans que moi même je ne comprenne).
Tout ce qui est variation et tout je l'avais déjà fait queklques questions auparavant.
Je vous remercie encore grandement.
Bonne journée
Tout ce qui est variation et tout je l'avais déjà fait queklques questions auparavant.
Je vous remercie encore grandement.
Bonne journée
-
sos-math(21)
- Messages : 10401
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Périmètre d'un polygone exinscrit
Je suis bien d'accord avec toi : balancer une telle fonction avec une méthode aussi avancée, cela parait suspect.
Il faut donc, je pense, se limiter à une approche plus modeste, avec le fait que les suites sont croissante et décroissante et convergent vers le même nombre et que étant donné l'inégalité :
\(i_n\leq \pi\leq e_n\), on a, en passant à la limite, \(\ell\leq \pi\leq \ell\), ce qui implique \(\ell=\pi\).
Il me semble que c'est beaucoup plus simple comme cela et que c'est tout à fait acceptable, à partir du moment où on a montré :
- la suite \((i_n)\) est croissante et converge ;
- la suite \((e_n)\) est décroissante et converge ;
- les deux suites convergent vers le même nombre ;
Bon courage
Il faut donc, je pense, se limiter à une approche plus modeste, avec le fait que les suites sont croissante et décroissante et convergent vers le même nombre et que étant donné l'inégalité :
\(i_n\leq \pi\leq e_n\), on a, en passant à la limite, \(\ell\leq \pi\leq \ell\), ce qui implique \(\ell=\pi\).
Il me semble que c'est beaucoup plus simple comme cela et que c'est tout à fait acceptable, à partir du moment où on a montré :
- la suite \((i_n)\) est croissante et converge ;
- la suite \((e_n)\) est décroissante et converge ;
- les deux suites convergent vers le même nombre ;
Bon courage
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Anna
Re: Périmètre d'un polygone exinscrit
Ok merci, je n'avais pas lu attentivement en fait..
Et bien voila, mon dm est terminé grace à vous !
Merci de m'avoir fait comprendre certaines choses qui me seront utiles !
Bonne soirée à tous les professeurs de Sosmath :) !
Et bien voila, mon dm est terminé grace à vous !
Merci de m'avoir fait comprendre certaines choses qui me seront utiles !
Bonne soirée à tous les professeurs de Sosmath :) !
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sos-math(21)
- Messages : 10401
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Périmètre d'un polygone exinscrit
Bonne soirée à toi aussi et bon courage pour la suite de l'année.