racines

[Antoine]

Bonjour , j'ai un petit soucie de compréhension

j'aimerais connaître la justificationq ue l'on doit mettre pour justifier
que l'on peut passer de çà
cos^3(x) = 1/8
à çà
cos(x) = 1/2 c'est la racine cubique de 1/8

dans quelles condition est ce que l'on meut appliquer cette racine cubique merci

[SoS-Math(4)]

Bonsoir ,

cos(x) est un réel qu'on peut appeler A. Alors \((cos(x))^3=\frac{1}{8}\) équivaut à \(A^3=\frac{1}{8}\) qui a pour seule solution A=1/2
Donc \((cos(x))^3=\frac{1}{8}\) a pour solution \(cos(x)=\frac{1}{2}\)

La fonction cube étant strictement croissante sur IR à valeurs dans IR ( faire le tableau de variation en mettant les limites ), alors la fonction racine cubique, qui est sa fonction réciproque est définie sur IR.
Donc tout nombre a une racine cubique.

voir aussi http://fr.wikipedia.org/wiki/Racine_cubique

sosmaths

[Antoine]

oui mais pourquoi doit on mettre que la fonction cube nest strictement croissante sur R ,, pourquoi ne mettrions nous pas simplement que pour tout x appartient à R la fonction cube est difinie donc à chaque x elle associe une image et inversement à chauqe image est associée un antécédant et que par conséquent on peut prendre la racine cubique de cos^3(x) ?

Et aussi si on avait eu cos²(x) on aurait pas pû prendre sa racine carrée car cos²(x) est definie pour tout x appartenant à R et dans R on a pas de racine carré de nombre négatifs. C'est bien cela ?

Merci d'avance

[SoS-Math(4)]

la fonction carrée est définie sur IR, mais l'ensemble des images est [0; + infini[
C'est pourquoi on ne peut prendre la racine carrée de nombre négatifs.

Pour créer une fonction réciproque on a besoin d'une bijection entre l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée de la fonction.( chaque nombre dans l'ensemble de départ correspond à un nombre unique dans l'ensemble d'arrivée et réciproquement, et deux nombres distincts dans l'ensembles de départ ont deux images distinctes). C'est le cas pour la fonction cube, grâce justement au fait que cette fonction est strictement croissante.

on peut voir les choses autrement( mais c'est lié) :
la fonction cube est continue et strictement croissante sur IR, de plus la limite en - infini est -infini, et la limite en + infini est +infini.
Soit un réel a quelconque, donc d'après le corrolaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation x^3=a a une solution unique dans IR.
Cette solution se nomme la racine cubique de a, et est notée a^(1/3).

sosmaths

[Antoine]

ah oui merci c'est beaucoup plus claire avec le mot bijection, j'ai tout compris merci beaucooup !

[SoS-Math(4)]

pourtant c'est un mot qu'on utilise plus beaucoup en terminale tant mieux si vous avez compris;

sosmaths

[Antoine]

oui mais en seconde je m'étais acheter ce livre : comment penser comme un mathématicien de Kevin Houston édition "de boeck", et ce terme est extrêmement bien expliqué et c'est vraie que je trouve que c'est plus claire que de faire des phrases à rallonges qui n'en finissent pas.
Merci à bientôt

[SoS-Math(4)]

à bientôt
sosmaths