Problème et fonctions

[Jude]

Soit l'exercice suivant :

Dans un commerce, le nombre \(y\) d'objets vendus diminue quand le prix de vente \(x\) de cet objet augmente. Une des lois formulées est \(y=b-ax\), où \(a\) et \(b\) sont des constantes à déterminer (\(a>0\)). Un magasin met en vente des cartables au prix de 18€ l'unité, acheté 12€ au grossiste. Au bout d'une semaine, 200 cartables sont vendus. Le directeur décide alors de baisser le prix du cartable de 0,5€ ; il constate qu'à la fin de la deuxième semaine, la vente hebdomadaire a augmenté de 50 unités.

1) En suppostant que la loi \(y=b-ax\) s'applique à cet exemple, quelles sont les valeurs des coefficients \(a\) et \(b\) ?

Par un système de deux équations à deux inconnues :
\(\left\{\begin{matrix}&b&-&18a&=&200\\&b&-&17,5a&=&250\end{matrix}\right.\)
j'obtiens \(a=100\) et \(b=2000\)
donc \(y=2000-100x\).

2) Exprimer le bénéfice \(B\) en fonction de \(x\) : \(B=x-12\)

[Jude]

Je suis en difficulté sur la question 3 de cet exercice en lien avec les fonctions :

Dans un commerce, le nombre \(y\) d'objets vendus diminue quand le prix de vente \(x\) de cet objet augmente. Une des lois formulées est \(y=b-ax\), où \(a\) et \(b\) sont des constantes à déterminer (\(a>0\)). Un magasin met en vente des cartables au prix de 18€ l'unité, acheté 12€ au grossiste. Au bout d'une semaine, 200 cartables sont vendus. Le directeur décide alors de baisser le prix du cartable de 0,5€ ; il constate qu'à la fin de la deuxième semaine, la vente hebdomadaire a augmenté de 50 unités.

1) En suppostant que la loi \(y=b-ax\) s'applique à cet exemple, quelles sont les valeurs des coefficients \(a\) et \(b\) ?

Par un système de deux équations à deux inconnues :
\(\left\{\begin{matrix}&b&-&18a&=&200\\&b&-&17,5a&=&250\end{matrix}\right.\)
j'obtiens \(a=100\) et \(b=2000\)
donc \(y=2000-100x\).

2) Exprimer le bénéfice \(B\) en fonction de \(x\) :
Je pose : \(B=x-12\)

3) Calculer le prix de vente d'un cartable assurant un bénéfice maximal :
Là je ne vois pas quel outil mettre en oeuvre pour obtenir cette valeur de \(x\) optimale. Pouvez-vous m'aider, svp.

[sos-math(21)]

Bonsoir,
ta résolution me semble correcte.
Le bénéfice est la différence entre la recette et le prix d'achat.
\(B=x-12\) est le bénéfice unitaire c'est-à-dire quand on vend un cartable, mais ici on en vend \(y\) donc ....
Bon courage

[sos-math(21)]

Si on reprend ce qui a été dit,
on obtiendra une fonction \(B(x)=y\times(x-12)=...\) en remplaçant \(y\) par son expression en fonction de \(x\).
Tu tombes sur une fonction polynôme du second degré pour lequel il est facile d'obtenir le bénéfice maximal (sommet de la parabole) : voir le cours.
Bon courage

[Jude]

Merci, je vais essayer d'avancer avec ça.

[Jude]

Oui, donc j'obtiens \(B(x)=y(x-12)\) soit \(B(x)=(2000-100x)(x-12)\)

soit par le polynôme du second degré résultant, soit par le produit des deux polynôme du 1er degré j'obtiens la dérivée suivante :

\(B'(x)=-200x+3200\)

j’établis un tableau de variation sur l'ensemble des réels positifs et j'ai donc un maximum de \(B\) atteint lorsque \(B'=0\) soit lorsque \(x=16\) (où \(B(x)=400\))

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

Cela me parait juste sauf \(B(x)\) pour \(x = 16\), à revoir.

Bonne continuation