Controle variation de fonction (fonction racine carre...)

[Ryan]

Salut a tous! Demain j'ai un controle sur les variations de fonctions, fonctions racine carre et vecteurs!
J'aurai besoin de votre aide pour refaire quelques exercices pour m'aider et dont je n'ai pas tres bien compris :/ Il y en a deux mais voici le premier:

Determiner le sens de variation de la fonction f (V veut dire racine carre)

a. F(x) = Vx+3 x > ou egale a -3
b.F (x) = V4-2x x < ou egale a 2
c. F (x) = Vx²+1 Sur R
d. F(x) = V1/x x > 0

Voila bon l'exercice en lui meme a l'air simple mais moi je comprend pas trop, etant bon en Math habituellement, la je bloque :/
Merci pour l'aide d'avance, je ne demande pas une correction mais une aide Merci!

[sos-math(21)]

Bonjour,
As-tu vu la dérivée ?
Sinon, tu peux travailler par composition de fonctions :
Par exemple, pour la première fonction, en partant de deux nombres \(x_1\, \, x_2\)dans l'intervalle \([-3\,;\,+\infty[\) tels que \(x_1<x_2\)
Transforme cette inégalité pour obtenir une inégalité sur les images par f : \(\sqrt{x_1+3}...\sqrt{x_2+3}\)
Si le signe est "<", les images sont dans le même ordre que les nombres de départ : la fonction est croissante.
Sinon, les images sont inversées et la fonction est décroissante...
Bon courage

[Ryan]

VX1 sera toujours plus petit que VX2 Si X1< X2 non?
Donc VX1+3 < VX2 + 3

La fonction est croissante...
d'accord je vois la technique.

Pour le B. F(x) = V4 - 2x x < ou egale a 2
On considere X1 < X2

V4 - 2X1 ... V4 - 2X2 (on imagine que l'on remplace X1 par 1 et X2 par 2)

F(X1) = V4 - 2 = V2
F(X2) = V4 - 4 = V0 = 0

Donc V4 - 2X1 > V4 -2X2

La fonction est decroissante. Dites moi si cela est correcte, j'essaye les autres de la meme maniere
Merci!

[sos-math(21)]

La fonction racine carrée \(x\mapsto \sqrt{x}\) est croissante donc respecte l'ordre...
As-tu \(\sqrt{x+3}\) ou \(\sqrt{x}+3\) ? Toi tu as fait avec \(\sqrt{x}+3\), il y a un ordre à respecter dans les "actions" à appliquer sur les inégalités.
Pour la deuxième, est-ce bien \(\sqrt{4-2x}\) ?
Il faut encore partir de \(x_1<x_2\) avec ces deux nombres dans \(]-\infty\,;\,-2]\) et enchainer les modifications suivantes \(x\mapsto -2x\mapsto4-2x\mapsto\sqrt{4-2x}\)
Bon courage

[Ryan]

Je suis desole je reecris sa en TeX:

a. F(x) = \(\sqrt{x+3}\) x \(\geq\) -3
b. F(x) = \(\sqrt{4-2x}\) x \(\leq\) 2

Pour le a. la fonction est croissante: Car X1 < X2, les images \(\sqrt{x_1}\) et \(\sqrt{x_2}\) sont dans le meme ordre que les variables X1 et X2.
Si l'on ajoute \(\sqrt{3}\) aux images cela revient au meme car on ajoute la meme quantite.
Pour conclure la fonction est croissante!

Pour le b. X est compris dans dans l'intervalle [ -\(\infty\) ; 2]
On remplace X1 par -1 et X2 par 2 comme ca X1 < X2

\(x\mapsto -2x\mapsto4-2x\mapsto\sqrt{4-2x}\)

Pour X1: -1\(\mapsto\)2 \(\mapsto\)4+2\(\mapsto\)\(\sqrt{6}\)
Pour X2: \(2\mapsto -4\mapsto4-4\mapsto\sqrt{0}\)

donc F(X1) > F(X2)

Conclusion la fonction est decroissante!

[sos-math(21)]

Je ne suis pas d'accord : tu appliques d'abord la racine carrée puis tu ajoutes 3, ce qui ne donnera pas \(\sqrt{x+3}\) mais \(\sqrt{x}+3\), ce qui est totalement différent : il faut faire l'inverse.
Pour l'autre fonction, je ne suis pas d'accord, tu ne peux pas prendre seulement deux valeurs particulières mais il faut partir de \(x_1<x_2\), alors en multipliant par (-2), on a
\({-2x_1}... -2x_2\) et on continue \(4-2x_1 .. 4-2x_2\) et ainsi de suite...
Bon courage

[Ryan]

Ok alors et si je prends:
F(x) = \(\sqrt{x+3}\)
\(\sqrt{u(x)}\) = \(\sqrt{x+3}\)
u(x) = x+3
u(-3) = 0

sur l'intervalle [-\(\infty\); -3[ La fonction u(x) est croissante
sur l'intervalle ]-3 ; +\(\infty\) ] La fonction u(x) est croissante

Donc F(x) est croissante sur l'intervalle [-3 ; +\(\infty\) ]

est-ce que ca marche?

[sos-math(21)]

Je ne comprends pas trop ...
Si tu veux "composer" les fonctions, on peut faire quelque chose qui ressemble à cela :
la fonction \(u \,:\,x\mapsto x+3\) est croissante sur \([-3\,;\,+\infty[\), à valeurs dans \([0\,;\,+\infty[\),
La fonction \(v\,:\,x\mapsto \sqrt{x}\) est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\),
donc \(F(x)=v(u(x))\), comme composée de fonctions croissantes est une fonction croissante.
On peut faire comme cela, mais je ne suis pas sûr que tu as déjà entendu parler de "fonctions composées"
Les inégalités, c'est très bien aussi.

[Ryan]

Je crois que ce sont les inaglites que notre professeur demande mais je ne comprends pas trop le truc :/

Pour repondre a ca:
Pour l'autre fonction, je ne suis pas d'accord, tu ne peux pas prendre seulement deux valeurs particulières mais il faut partir de x_1<x_2, alors en multipliant par (-2), on a
\({-2x_1}\)... \({-2x_2}\) et on continue \({4-2x_1}\) .. \({4-2x_2}\) et ainsi de suite...

\({-2x_1}\) > \({-2x_2}\) car comme x est negatif on inverse l'inegalite.
Donc \({4-2x_1}\) > \({4-2x_2}\) et puis \(/sqrt{4-2x_1}\) > \(/sqrt{4-2x_2}\)

Voila cela me semble correct a mon avis.

[sos-math(21)]

Bonjour,
C'est parce que (-2) est négatif que l'on inverse l'ordre en multipliant ;
Ensuite, les autres opérations sont "croissantes" donc respectent l'ordre , finalement on a \(F(x_1)>F(x_2)\) donc l'ordre a été inversé donc la fonction F est décroissante.
Il faut faire la même chose pour les autres fonctions.
Bon courage

[Ryan]

Un grand merci a vous pour votre aide, voila la fonction que j'ai eu a mon controle:

Soit f la fonction definie sur ]-\(\infty\); 2[ \(\cup\) ]2; +\(\infty\)[ Par:

f(x) = \(\frac{5x - 13}{x - 2}\)

1. Demontrer que, pour tout x =/= 2

f(x) = 5 - \(\frac{3}{x - 2}\)

2. Etudier le sens de variation de f sur ]2; +\(\infty\)[
En deduire le tableau de variation de f en admettant que f a le meme sens de variation sur ]2; +\(\infty\) et ]-\(\infty\); 2[

Mes reponses

1. 5- \(\frac{3}{x - 2}\)
=\(\frac{5(x-2)-3}{x - 2}\)
=\(\frac{5x -10-3}{x - 2}\)
=\(\frac{5x -13}{x - 2}\)

2. On prend deux reels a et b , on admet que a < b.

a < b \(\mapsto\) 5a < 5b \(\mapsto\) 5a -13 < 5b-13 \(\mapsto\) \(\frac{5a -13}{b - 2}\) \(\frac{5b -13}{b - 2}\)

Voila encore un grand merci a vous meme si ce que j'ai mis est peut etre faux :/

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Ok pour le première question.
Pour la seconde question, il fallait utiliser la décomposition obtenue en 1 et partir de \(a,\, b\in]2\,;\,+\infty[\) avec \(a<b\) puis \(a-2 .... b-2\) puis \(\frac{1}{a-2}...\frac{1}{b-2}\) puis \(\frac{-3}{a-2}...\frac{-3}{b-2}\) puis \(5-\frac{3}{a-2}...5-\frac{3}{b-2}\).
La première forme est difficile à utiliser pour travailler avec des inégalités....

[Ryan]

Ah oui pas bete! Merci de la correction!

Bon et bien merci de votre aide pour mes revisions!

Au revoir et bonne soiree!

[sos-math(21)]

Bonne soirée.
A bientôt sur sos-math