Vecteurs !!

[Sophie]

Bonjours, voila je suis bloquee sur une question de cet exercice, si vous pouviez m'aider ce serait super !!

NB: toutes les formules soulignee telles que AF sont des vecteurs.

On considère un parallélogramme ABCD, non aplati, E le milieu de [AD], F le point tel que AF=1/2 AB et K le quatrième sommet du parallélogramme EAFK.
On appelle M le milieu de [BE], et G le point tel que AG=1/3AB.
Le but de l'exercice est de montrer d'une part que les points G, M, K et C sont alignés, d'autre part que les droites (BE) et (DF) se coupent en M.

*Partie A :
1) Faire une figure.
2)
a) Montrer queGB=2GF.En déduire que GC=2GK et que G, K et C sont alignés.
b) Montrer que GK= 1/2GB+AB+BE. En déduire que GK=2GM et que G, M et K sont alignés.
c) En déduire que les points G, M, K et C sont alignés.
3) Montrer queFD=4FM. En déduire que les droites (BE) et (DF) se coupent en M.

*Partie B Avec coordonnée:
Pourquoi les vecteurs AB et AD forment-ils une base du plan ?
Determiner les coordonnées des point A, B, C, D, E, F, G, K et M dans le repère (A, vecteur AB, vecteur AD)
Montrer que les points G, M, K et C sont alignés ?
Determiné une equation de la droite (DF). En déduire que les droites (BE) et (DF) se coupent en M.


J'ai repondu aux questions 1,2, mais la 3 je coince, et aussi la partie B je ne comprend rien.
Aidez moi s'il vous plait !!!

[SoS-Math(25)]

Bonsoir Sophie,

Pour la question 3, tu peux :

Soit utiliser le théorème de la droite des milieux dans le triangle ABE (Les points M et F sont les milieux de deux côtés) pour montrer que (FM) et (AE) sont parallèles et que la longueur de FM est la moitié de celle de AE,

Soit construire un F', le symétrique de F par rapport à M pour montrer que FBF'E est un parallélogramme puis que AFF'E est aussi un parallélogramme. Tu auras donc FM = AE puis ta conclusion.

Bon courage !

[Sophie]

Merci pour votre aide, mais F n'est pas le mileux de [AB], on a AF=(2/3)AB . Cela aurait ete plus facile !!

[Sophie]

Voici une figure !

[SoS-Math(25)]

Tu as raison, sinon (FM) serait parallèle à (AD)... Il y a une coquille dans ton premier message....

Pour la partie 3 voici une image où les coordonnées de M dans le repère (A, AB, AD) sont (2, 1) car AM = 2AB + AD... Cela peut t'aider pour ton exercice.

[Sophie]

D'apres ma figue, M n'est pas comme vous l'avez montré. M est le milieu de [EB], je pense qu'il est impossible que AM=2AB+AD.
Pour la partie B, j'ai essayée de travailler decu :
1.Les vecteurs AB et AB forment une base du plan car ils ne sont pas colineraires.
2.Dans le repere precedent, on a :
A(0;0)
B(1;0)
C(1;1)
D(0;1)
E(0; 1/2)
F(2/3 ; 0)
G(1/3 ; 0)
K(2/3 ; 1/2)
M(1/2 ; 1/4)
Je pense que c'est ca, mais pour la 3 de la partie A je reste bloquée et pour le reste de B aussi. HELP !!

[SoS-Math(25)]

Pour la question 3,

On peut montrer que DEFK est un parallélogramme en partant de EF = EA + AF = DE + AF = ...

Puis en nommant F' le milieu de [EK], il est possible de montrer que GFKF' est un parallélogramme.

Tu as montré au 2b que M était le milieu de [GK] cela montre aussi que M est le milieu de [FF'] (A écrire).

Il y a peut-être plus simple...

[SoS-Math(25)]

AM = 2AB + AD dans la figure d'exemple de mon message.

[SoS-Math(25)]

Pour la fin de la partie B, il faut calculer les coordonnées des vecteurs GM, GK et GC pour montrer qu'ils sont colinéaires

Bon courage !

[Sophie]

Merci beaucoup pour votre aide, je commence a piger !!!

[Sophie]

Désolée je n'arrive pas a trouver FD=4FM avec votre méthode. Je n'arrive pas a comprendre comment déduire cette Egalité.

[mathieu]

Merci beaucoup pour votre aide, je commence a piger !!!

il faut etre poli nan mais ho

[sos-math(21)]

Bonjour,
Il faut exprimer les deux vecteurs \(\vec{FD}\) et \(\vec{FM}\) en fonction de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AD}\) :
Par exemple : \(\vec{FD}=\vec{FB}+\vec{BC}+\vec{CD}=\frac{1}{3}\vec{AB}+\vec{AD}-\vec{AB}=..\vec{AB}+..\vec{AD}\)
De même : \(\vec{FM}=\vec{FA}+\vec{AM}=\frac{-2}{3}\vec{AB}+\frac{1}{2}\left(\vec{AE}+\vec{AB}\right)\), sachant que \(\vec{AE}=\frac{1}{2}\vec{AD}\), il restera à arranger tout cela pour avoir : \(\vec{FM}=..\vec{AB}+..\vec{AD}\) : il te restera ensuite à comparer les coefficients obtenus.
Bon courage

[Invité]

Bonjour,
Il faut exprimer les deux vecteurs \(\vec{FD}\) et \(\vec{FM}\) en fonction de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AD}\) :
Par exemple : \(\vec{FD}=\vec{FB}+\vec{BC}+\vec{CD}=\frac{1}{3}\vec{AB}+\vec{AD}-\vec{AB}=..\vec{AB}+..\vec{AD}\)
De même : \(\vec{FM}=\vec{FA}+\vec{AM}=\frac{-2}{3}\vec{AB}+\frac{1}{2}\left(\vec{AE}+\vec{AB}\right)\), sachant que \(\vec{AE}=\frac{1}{2}\vec{AD}\), il restera à arranger tout cela pour avoir : \(\vec{FM}=..\vec{AB}+..\vec{AD}\) : il te restera ensuite à comparer les coefficients obtenus.
Bon courage

Merci je vais essayer comme ca et je vous direz si j'ai reussi !!! MERCI encore. Bonne journée.

[Sophie]

Merci beaucoup j'ai enfin reussi cet exercice, merci encore !!!!