Argument et module

[man]

Bonjour,

Soit a appartient à ]-pi;pi[ et z=e^(ia). Déterminer le module et si possible un argument de 1+iz et de 1+z+z²

J'ai essayé de faire ceci:

1+iz=1+ie^(ia)

mais je suis bloquée à ce niveau...faut il utiliser les formules d'euler? merci de m'expliquer

[SoS-Math(25)]

Bonjour,

Il y a plusieurs méthodes, la plus simple étant, en effet, d'utiliser les formules d'Euler.

Pour le premier :

Il faut observer que \(1 = e^0\) et \(i = e^{i\frac{\pi}{2}}\). Ensuite il faudra chercher une factorisation intéressante pour pouvoir utiliser Euler.

Bon courage !

[man]

bonjour,

mais alors que dois je faire du z ?

je peux écrire que : e^(i0)+e^(ipi/2)z et c'est tout ?

[SoS-Math(25)]

Il faut remplacer \(z\) par sa forme exponentielle : \(e^{ia}\) puis utiliser les propriétés de l'exponentielle.

[man]

donc :

1+iz=e^(i0)+e^(ipi/2)e^(ia)= e^(i0)+e^(i(pi/2 + a))=e^i0 + (1-e^i(pi/2+a)n/(1-e^i(pi/2+a)

comme ceci ?

[SoS-Math(25)]

Je ne comprends pas très bien la dernière égalité mais tu as déjà ceci :

\(1 + iz = e^{0} + e^{i(\frac{\pi}{2} + a)}\). (1)

Ensuite une astuce consiste à factoriser par une forme exponentielle pour pour utiliser Euler.

Il faut diviser en deux l'angle \(\frac{\pi}{2} + a\) : \(\frac{\pi}{4} + \frac{a}{2}\) (sa moitié)

En remarquant que \(0 = i(\frac{\pi}{4} + \frac{a}{2}) - i(\frac{\pi}{4} + \frac{a}{2})\) et que \(i(\frac{\pi}{2} + a) = i(\frac{\pi}{4} + \frac{a}{2}) + i(\frac{\pi}{4} + \frac{a}{2})\) tu devrais pouvoir factoriser par \(e^{ i(\frac{\pi}{4} + \frac{a}{2})}\) dans l'égalité (1).

Bon courage !

[man]

donc :

je trouve au final:

e^i(pi/4+a/2)[e^-i(pi/4+a/2)+e^i(pi/4+a/2)]=e^i(pi/4+a/2)[2cos(pi/4+a/2)

donc module : [2cos(pi/4+a/2) et argument :e^i(pi/4+a/2)

pour l'autre, dois je écrire que : 1+z+z²= e^i0 + e^ia + e^2ia = e^ia (e^-ia + e^0+e^ia) ?

[SoS-Math(25)]

Il y a une petite erreur dans ton argument. Regarde bien.

Pour le deuxième cas tu es bien partie et presque à la fin !

C'est bien !

[man]

alors :

argument : e^(pi/4+a/2) j'ai enlevé le i

b) e^ia (e^-ia + e^0+e^ia)= e^ia (2cos(a)+1) donc argument = e^a et module = 2cos(a)+1 ?

[SoS-Math(25)]

Tu n'as pas bien compris l'argument dans les formes exponentielles.

Tu dois relire encore ton cours...

Dans l'écriture \(re^{i\theta}\) d'un nombre complexe, \(r\) est le module et \(\theta\) l'argument.

De plus ! \(r\) doit être un nombre réel et positif !

Donc il te reste à distinguer certains cas dans tes deux modules en fonction de \(a\).

Encore un petit effort !

[man]

d'accord donc :

a) argument : pi/4 + a/2 quand ...comment trouver l'intervalle ?

b) argument : a

[SoS-Math(25)]

Prenons le a) :

Tu as trouvé \(1 + iz = 2\cos (\frac{\pi}{4} + \frac{a}{2})e^{i\frac{\pi}{4}+\frac{a}{2}}\) .

Maintenant, en fonction des valeurs de \(a\), \(2\cos (\frac{\pi}{4} + \frac{a}{2})\) peut être positif ou négatif.

Dans les cas où ce nombre est positif, alors c'est le module de \(1 + iz\) cherché et l'argument est bien \(\frac{\pi}{4}+\frac{a}{2}}\) .

Dans les cas où ce nombre est négatif, il faut remarquer que \(1 + iz = 2\cos (\frac{\pi}{4} + \frac{a}{2})e^{i\frac{\pi}{4}+\frac{a}{2}} = (-1)\times (-1)\times 2\cos (\frac{\pi}{4} + \frac{a}{2})e^{i\frac{\pi}{4}+\frac{a}{2}} = (-1)\times e^{i\pi}\times 2\cos (\frac{\pi}{4} + \frac{a}{2})e^{i\frac{\pi}{4}+\frac{a}{2}}\).... puis simplifier un peu cette expression.

Donc, tu dois d'abord trouver les valeurs de \(a\) pour lesquelles \(2\cos (\frac{\pi}{4} + \frac{a}{2})\) est négatif...

Bon courage !

[man]

après simplification, je trouve -2cos(pi/4+a/2)e^i(5pi/4+a/2) mais comment en déduire a ?

de plus , je ne comprends pas d'où vient votre (-1)*(-1)

[SoS-Math(25)]

\((-1)\times (-1) = 1\)... c'est une façon de rendre positif le nombre devant l'exponentielle.

tu dois d'abord trouver les valeurs de a pour lesquelles \(2\cos (\frac{\pi}{4} + \frac{a}{2})\) est négatif...

[man]

je trouve que a doit être <pi/2