Bonjour
J'ai toujours appris que le principe de multiplication membre à membre ne s’applique que quand les nombres sont positifs or dans un exercice il y a écrit ceci, je ne comprends pas comment ça se fait:
-1<cosx<1 et -1<sinx<1 donc -1<cosx*sinx<1
Merci de m'éclairer
multiplication
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Célia
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sos-math(21)
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Re: multiplication
Bonjour,
C'est faux en général, il faudrait donc décomposer les inégalités en plusieurs morceaux et traiter cas par cas :
\({-}1\leq \cos(x)\leq 0\), \(0\leq \cos(x)\leq 1\), \(-1\leq\sin(x)\leq 0\) et \(0\leq \sin(x)\leq 1\)
Puis traiter tous les croisements possibles (4 cas) en se ramenant à chaque fois à des encadrements de nombres positifs :
Par exemple si tu as : \({-}1\leq \cos(x)\leq 0\) et \(0\leq \sin(x)\leq 1\), tu multiplies la première par -1 donc \(0\leq -\cos(x)\leq 1\)
et ensuite tu peux multiplier les deux encadrements de nombres positifs entre eux \(0\leq -\sin(x)\cos(x)\leq 1\)
ensuite on multiplie tout par -1 : \({-}1\leq \cos(x)\sin(x)\leq 0\)
Il faut faire cela quatre fois et regrouper les résultats, au final, on a bien ce que tu as lu, à savoir \({-}1\leq \cos(x)\sin(x)\leq 1\), mais au moins c'est mathématiquement correct !
Bon courage
C'est faux en général, il faudrait donc décomposer les inégalités en plusieurs morceaux et traiter cas par cas :
\({-}1\leq \cos(x)\leq 0\), \(0\leq \cos(x)\leq 1\), \(-1\leq\sin(x)\leq 0\) et \(0\leq \sin(x)\leq 1\)
Puis traiter tous les croisements possibles (4 cas) en se ramenant à chaque fois à des encadrements de nombres positifs :
Par exemple si tu as : \({-}1\leq \cos(x)\leq 0\) et \(0\leq \sin(x)\leq 1\), tu multiplies la première par -1 donc \(0\leq -\cos(x)\leq 1\)
et ensuite tu peux multiplier les deux encadrements de nombres positifs entre eux \(0\leq -\sin(x)\cos(x)\leq 1\)
ensuite on multiplie tout par -1 : \({-}1\leq \cos(x)\sin(x)\leq 0\)
Il faut faire cela quatre fois et regrouper les résultats, au final, on a bien ce que tu as lu, à savoir \({-}1\leq \cos(x)\sin(x)\leq 1\), mais au moins c'est mathématiquement correct !
Bon courage