DM sur variation de fonction et problème associé

[Charline]

Bonjour,

Voici en pièce jointe l'énoné de mon devoir maison.
Je cherche à résoudre les questions 4.a) et 4.b).

4.a) Démontrer que pour tout t de l'intervalle I, on a f(t) = 9/2 - 1/2(t-3)²
b) Démontrer que l'aire du trapèze est maximale pour une valeur de t que l'on précisera ; préciser aussi la valeur de l'aire maximale.

J'ai trouvé que l'intervalle I est ]0 ; 4[ (question 1) mais je ne comprends pas comment démontrer que f(t) = 9/2 - 1/2(t-3)².

Pouvez-vous m'aider ?
Merci

[sos-math(13)]

Bonjour,

pour la 4a, tu souhaites démontrer une égalité.
Le principe, en général, est de partir d'un membre pour essayer d'arriver à l'autre.

Ici, tu connais deux expressions de f(t).
Celle du 3b (en fait, c'est f(t) qui t'est donné, pas f(x) ) et celle du 4a.
Comme il est plus simple de développer que de factoriser, en général, il suffit de partir de celle du 4a pour retomber sur celle du 3b.

La suivante se sert de la forme trouvée en 4a. Pense qu'un carré est toujours positif.

Bon courage.

[Charline]

Bonjour,

J'ai compris la question 4a, j'ai réussi à développer et à démontrer que les deux fonctions sont égales mais je ne comprends pas comment je peux démontrer que l'aire du trapèze est maximale avec les fonctions des questions 3b et 4a...

[sos-math(13)]

En fait tu n'utilises pour la dernière question que la forme de la 4a.

\(f(t)=\frac{9}{2}-\frac{1}{2}\times(t-3)^2\)

Quelle est la valeur minimale d'un carré ? (c'était l'indice que je te donnais)
Quelle est donc la valeur minimale de \((t-3)^2\) ?
Pour quelle valeur de \(t\) est-elle atteinte ?

À quoi celà correspond-il pour la fonction \(f\) (attention, il y a un "-" devant le carré) ?

En répondant à ces diverses questions, tu peux terminer.

[Charline]

Je n'ai pas compris la troisième question : pour quelle valeur de t est-elle atteinte ?

[sos-math(13)]

Quelle est la valeur minimale de (t-3)², déjà ?

Donne moi cette réponse, et pose-toi la question : pour atteindre cette valeur minimale, par combien dois-tu remplacer t ?

[Charline]

La valeur minimale de (t-3)² est 0.

Donc si j'ai bien compris, il faut que je remplace t par 0 pour obtenir cette valeur. C'est ça ?

[sos-math(13)]

Ok pour la valeur minimale de (t-3)².

Mais si tu remplaces t par 0, es-tu sûre que (t-3)² vaudra 0 ???

[Chaline]

Si je remplace t par 0, je n'aurai pas (t-3)² = 0.
Il faut que je remplace t par 3.

[sos-math(13)]

Tout à fait.

Cela signifie que la valeur minimale de (t-3)² est atteinte pour t=3.

[Charline]

Pour la dernière question que vous m'avez posé : À quoi cela correspond-il pour la fonction f ?
il faut que je dise à quoi correspond t = 3, c'est ça ?

[sos-math(13)]

Ce n'était pas le sens de ma question, non.

S'agit-il d'un minimum ou d'un maximum pour f ?

[Charline]

Il s'agit d'un maximum.

[sos-math(13)]

oui, mais pourquoi ?

[Charline]

Parce que l'aire est maximale ?