Raccord de fonctions

[Nicolas]

Bonjour à vous,
Je souhaiterais avoir votre aide sur un exercice dont je vous en donne l'énoncé (mal rédigé selon moi...)

"Une voie ferrée fut construite pour relier deux villes A et B : les travaux démarrèrent depuis chaque ville. Vint le moment de réunir les deux voies en une : on modélise les voies existantes par les fonctions f et h suivantes.

f(x) = (3x+4)/(10x-3) sur [0,5 ; 1] et h(x) = (2 * racine de 2 * racine de (x)) - 3 sur [2 ; 4]
Ainsi que la fonction g sur l'intervalle [1 ; 2].

On cherche une fonction g simple qui permette de terminer la voie."

1/ Pourquoi une ligne droite ne convient elle pas ?
==> Très bonne question... Pourquoi ? En effet, si on essaye de représenter les trois fonctions sur un graphique, on remarque que f(1) = 1 = h(2)
A priori, si on veut respecter la continuité de la fonction "finale" (car résultant de 3 "morceaux" de fonctions) il faudrait que les valeurs extrémales des intervalles soient les mêmes (je parle pour f(1) = g(1) et g(2) = h(2)). Alors pourquoi la fonction g(x) = 1 ne conviendrait-elle pas ici ?

2/ Quelle notion mathématique intervient pour que la fonction g convienne ?
==> La continuité j'imagine. Si on ne trouve pas une fonction g telle que g(1) = 1 = g(2) alors la fonction g ne conviendrait pas.

3/ Démontrer que la fonction g(x) = x² -3x + 3 convienne
=> On a bien g(1) = 1 = g(2). La continuité est respectée, cette fonction convient.

Merci de bien vouloir m'éclairer car je vous avoue que moi-même, étant en maths-sup et essayant d'aider une terminale, n'arrive pas à lui apporter les réponses nécessaires à cet exercice.

Merci par avance pour votre aide !

Nicolas.

[sos-math(13)]

Bonjour,

j'imagine donc que A(0,5;f(0,5)) et B(4;h(4)).
questions 1, 2 et 3 :
La continuité est un élément à prendre en considération, mais ce n'est pas le seul.
Le train a besoin d'une certaine régularité et ne peut pas suivre une voie anguleuse. Il ne faut donc pas d'angle au niveau des raccords.
Il y a une notion mathématique (vue en première) qui va te permettre de montrer qu'une ligne droite créerait ce problème.

Une fois que tu auras trouvé de quelle notion il s'agit, tout sera plus simple.

Bon courage.

[Nicolas]

Bonsoir,
Oui en effet pour les villes je pense qu'on peut les matérialiser comme cela.

La seule autre notion que je peux envisager serait la dérivation.
Mais encore une fois je ne vois vraiment pas quel rôle elle joue là-dedans...

J'imagine que la réponse à ce problème vient vraiment du fait de voir comment on raccorde des voies de train...
En y réfléchissant c'est vrai que même si la continuité est respectée, "l'angle" si je puis dire est cassé et les voies seraient mal raccordées.

Si je pars du principe que la dérivation est l'autre notion concernée, alors si je prends une "ligne droite" concernant la fonction g, ie g serait une fonction constante ou bien une fonction affine, alors j'aurais g'(x) = 0 ou une constante.

Et c'est là que la première question me perturbe un peu. Qu'entends-t-on par "ligne droite" ? Une fonction constante ou affine ?

Je vous avoue que je voudrais bien quelques précisions supplémentaires pour bien voir les concepts mis en jeu ici.

Merci pour votre future réponse !

[sos-math(13)]

Tu as raison, il s'agit bien de la dérivation.
Un petit schéma pour mieux comprendre :

train.png (9.79 Kio) Vu 3393 fois

En noir, le trajet qu la ligne droite ferait subir au train.
Déraillement assuré !
En effet, le train aura tendance à quitter la voie f en suivant la première flèche rouge, et doit revenir sur la voie h en suivant la seconde flèche.
J'imagine que tu ne veux pas être responsable de centaines de morts...

Donc tu choisis le chemin en vert, par exemple, pour le raccordement.
Ainsi, le "parcours naturel" du train est respecté.

Mais pour ça, il faut que les tangentes à la trajectoire soient les mêmes de chaque côté d'un raccordement (à gauche et à droite).
Or le cours de première te donne la définition du nombre dérivé qui te permet de conclure.

Bon courage.

[sos-math(13)]

PS : constante ou affine, on est sur de la ligne droite.
Une fonction constante est de toutes façons une fonction affine particulière.

[Nicolas]

Bonsoir,
D'accord, je comprends mieux l'explication.

Du coup si on prend une fonction constante ou affine, la pente ne sera pas la même pour la fonction f en 1 et notre fonction g, et idem pour la fonction h en 2.

Okay, il me suffit de calculer les tangentes en ces deux points avec la définition des dérivées.

Merci beaucoup pour les explications !

Bonne soirée

[sos-math(13)]

Plutôt que de te fatiguer à obtenir l'équation complète de la tangente, contente toi du coefficient directeur. À lui seul il t'informe de la pente.
Sinon ton raisonnement est bon.

Bon courage.

[Nicolas]

Bonjour,
Oui seul le coefficient directeur m'intéresse pour la pente de la courbe, le reste ne me sera d'aucune utilité.

Bonne journée

[sos-math(13)]

Bon courage pour la fin.

À bientôt sur sos-math.