fonction homographique et système

[Elise]

Bonjour, j'ai l'énoncé suivant:
Entre 2001 et 2010, la part des sapins Nordmann dans l'achat de sapins de noël n'a cessé d'augmenter. Chez un grand pépiniériste du Morvan, la part était de 31% en 2001, de 55% en 2004, pour atteindre 63% en 2009. On modélise une fonction donnée par: f(x)= a+k/(x+b)
où x est le rang de l'année par rapport à 2000.
A l'aide d'un système, déterminer a, k et b.
On établira que b=1.
Conjecturer la part de sapins Nordmann que peut prévoir ce pépiniériste à long terme.


Comment résoudre le système?
Merci d'avance

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Elise,

Est-ce \(f(x)=a+\frac{k}{x+b}\) ou \(f(x)=\frac{a+k}{x+b}\) ?

Merci de préciser pour que je te propose une aide.

A tout de suite sur le forum.

[Elise]

Excusez moi, c'est a+(k/(x+b))

[SoS-Math(11)]

Pour commencer je te propose une méthode :

Traduis comme pour l'année 2001 les phrases données par des égalités :\(31 = a + \frac{k}{b+1}\), tu as trois égalités.

Ensuite multiplie les deux membres de tes égalités par le dénominateur (supposé non nul) des fractions, ce qui va te donner pour la première : \(31 + 31b = ab + a +k\).

Ensuite élimine le terme \("ab"\) par soustraction des équations prises deux à deux : la deuxième moins la première, la troisième moins la deuxième, comme il n'y a plus de\("k"\) tu vas pouvoir trouver \(a\) et \(b\) dans le système linéaire de deux équations à deux inconnues.
Remplace alors dans la troisième égalité et détermine k. Vérifie dans les deux premières que tu n'as pas fait d'erreur.

Bon courage pour tous les calculs

[Elise]

Merci pour votre réponse, mais je ne comprends pas comment vous avez trouvé ab dans ab+a+k

[SoS-Math(11)]

J'ai multiplié \(a\) par\(b+1\) puisque a n'est pas au numérateur, il faut aussi le multiplier par \(b+1\).
Ensuite \(\frac{k}{b+1} \times {b+1}=k\), donc cela me fait \(ab + a + k\).

Bon courage

[Elise]

J'ai trouvé:
a=183
b=5
k=-912
Est-ce le bon résultat?

[SoS-Math(11)]

Attention, on te dit que \(b = 1\), donc ta solution n'est pas la bonne.

\(k\) est bien négatif.

Bonne continuation

[Elise]

J'ai le système suivant:
ab+a+k=31+31b
ab+4a+k=220+55b
ab+9a+k=567+63b

ab+a+k=31=31b
3a=189+24b
8a=536+32b (en faisant ligne 2 moins ligne 3)

et à partir de là, doit-on résout un système de deux équations à deux inconnues?

[SoS-Math(11)]

Avec l'indication\(b=1\) tu n'as qu'un système tout simple : \(31= a + \frac{k}{2}\) et \(55= a + \frac{k}{5}\) ou encore plus simple le système formé par les deux équations : \(55= a + \frac{k}{5}\) et \(63= a + \frac{k}{10}\).

Je t'ai fait faire trop de calculs, en te plaçant dans le cas général.

Bonne continuation avec ces nouvelles indications.

[SoS-Math(11)]

J'ai oublié de te dire que ton système est juste et te donne la bonne solution avec \(b=1\). C'est très bien.

[Elise]

J'ai finalement trouvé
a=71
b=1
k=-80
Est-ce le bon résultat cette fois-ci?

[SoS-Math(11)]

Tout à fait. Bonne continuation.

[Elise]

Merci beaucoup pour votre aide, j'aimerais simplement une indication pour savoir comment conjecturer la part de Nordmann à long terme?
Merci d'avance

[SoS-Math(11)]

Tu dois chercher la limite lorsque \(x\) tend vers plus l'infini. Regarde ce qui se passe pour de grandes valeurs de \(x\).

Bonne fin d'exercice.