suites arithmético-géométriques

[karembel]

Bonjour, DM de vacances oblige, je bloque sur une question et cela m'empêche d'avancer dans l'exercice.

-Dans un pays, deux opérateurs téléphoniques ont le monopole du secteur; l'un dépend de l'Etat et l'autre du privé. Des études de marché ont mis en évidence que, d'une année sur l'autre, l'opérateur privé perdait 12% de ses clients au profit de l'opérateur d'Eat et que dans le même temps, il récupérait 8% des clients de son concurrent. On se propose de déterminer,sans connaître les parts de marché initiales, la répartition des clients des opérateurs au bout d'un grand nombre d'années.On note an(resp.bn)la part de marché de l'opérateur d'Etat (rep. de l'opérateur privé ) au bout de n années.

1- expliquer pourquoi pour tout n de N, an + bn = 1

Puisque ces deux opérateurs ont le monopole du secteur, à eux deux, ils possèdent 100% du marché de la tléphionie d'où an + bn = 1.



2- justifier que pour tout n de N, an+1 = 0,92an + 0,12bn
en déduire une expression de an+1 en fonction de an

je ne vois pas du tout comment m'y prendre pour cette question, j'aurais donc besoin d'un petit coup de pouce


3- On pose un = an - 0,6 . démontrer que la suite u est géométrique

Du coup il faudrait que je fasse Un+1 = an+1 - 0,6 mais je suis bloqué vu qu'il me faut an+1 --"
en déduire les limites de un, an, bn

4- au bout d'un grand nombre d'années quelle sera la part de marché de chacun de ces opérateurs ?


Je me servirai des limites pour voir vers quels n les suites tendent






Merci d'avance ;]

[sos-math(21)]

Bonsoir,
on a à l'année n : proportion de clients pour l'opérateur d'état : \(a_n\) et proportion de clients pour l'opérateur privé \(b_n\)
L'année d'après, on cherche à savoir comment a évolué la part de l'opérateur d'état \(a_{n+1}\) : celui-ci perd 8% de ses clients : ce qui fait un coefficient multiplicateur de \(CM=1-\frac{8}{100}=0,92\) donc ses clients historiques prennent la part \(0,92a_n\)
dans le même temps il récupère 12% des clients de l'opérateur privé : fais le même raisonnement, réunis les deux parts et tu aboutiras à la formule demandée : \(a_{n+1}=\)
Dans la suite, il te faudra utiliser la relation \(a_n+b_n=1\) pour ne plus avoir que du \("a_n"\) dans l'expression qui définit \(a_{n+1}\).
Une fois que tu auras fait cela, le reste est un peu plus habituel...
Bon courage

[karembel]

merci beaucoup !

[sos-math(21)]

Je te laisse travailler et je verrouille le sujet.
Bon courage.