Suites

[Marie]

Bonjour,

Je reprend mon contrôle afin de me préparer au suivant, et j'ai une question

Déterminer le sens de variation des suites définies sur N par : U0=7 et Un+1=Un+4

J'ai fais :
U1=7+4=11
Donc on a Un+1>Un donc la suite est strictement croissante

Mais, su le corrigé de la prof on a :
Un+1-Un=Un+4-Un>0 donc Un+1>Un donc (Un) est strictement croissante

Je voulais savoir si ma méthode pouvait marcher dans certains cas ou non

[sos-math(21)]

Bonjour,
Ta méthode ne suffit pas, tu ne vérifies que sur deux termes, or une suite est croissante lorsque \(U_{n+1}\geq U_n\) pour tous les entiers naturels où la suite est définie
Le raisonnement de ton professeur est fait sur un rang quelconque de la suite, ce qui lui donne un caractère général et ce qu'il prouve pour un rang quelconque sera donc vrai pour tous les rangs : c'est là la puissance du raisonnement "littéral", c'est-à-dire basé sur des valeurs non déterminées de n.
est-ce plus clair ?

[Marie]

Ok j'ai compris ! C'est un peu comme pour les fonctions, on doit pas prendre des chiffres mais faire avec les expressions littérales !!

Par contre, je trouve au c. Un+1-Un=2n (comme le corrigé)
Et sur le corrigé il est écrit : Or n appartient à N donc n>0 donc 2n>0 donc ect.
Comment sait on que n appartient à N ? C'est donné dans l'énoncé ou c'est un "si" du cours ?

[Marie]

Pour trouver un sens de variation :

Arithmétique : Calculer Un+1-Un
Géométrique : On regarde Uo et q

C'est bien ça ?

[sos-math(21)]

Avec des suites, le n sert de numérotation donc c'est toujours un entier naturel.
Pour le sens de variation étudier le signe de \(U_{n+1}-U_n\) est une technique générale toujours valable.
Pour une suite arithmétique \(u_{n+1}=u_n+r\) : \(r>0\)-> suite croissante, \(r<0\)-> suite décroissante ;
Pour une suite géométrique avec \(u_0 >0\) : q>1 suite croissante,0<q<1 -> suite décroissante (on inverse avec un \(u_0<0\))
Voilà rapidement les différents éléments à connaitre.