Matrices TES spé

[Claire]

Un concessionnaire de voitures vend une berline 3 portes de la marque "Voituréco" avec ou sans accessoire.
Les accessoires sont : alarmes, auto-radio, enjoliveurs anti-brouillard et haut parleurs.
Le tableau ci dessous donne quelques prix :

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|Alarme|Autoradio|enjoliveurs antibrouillard|Haut parleurs|PRIX (en€)|
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| X | | | | 8010 |
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| | X | | | 7839 |
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| | X | | X | 7938 |
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| X | | X | | 8190 |
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| X | X | | X | 8248 |
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J'ai réussis à trouver le prix des hauts parleurs, des enjoliveurs, et de l'alarme sans utiliser les matrices. Or je pense qu'il faut résoudre un système d'équation grace aux matrices, le problème c'est que si on considère la matrice avec la quantité d'accéssoire par voiture, ce n'est pas une matrice carré, donc impossible de faire la transposée...

[sos-math(21)]

Bonjour,
Combien as-tu d'accessoires ? j'ai du mal à compter le nombre de colonnes de ton tableau, ton énoncé n'est pas très clair...
Chaque accessoire représente une inconnue, ainsi que le prix de la voiture sans aucun de ces accessoires.
Il faut nommer chaque inconnue par une lettre : x,y,z,t,...
et traduire chaque ligne par une équation : tu obtiendras un système que tu pourras écrire matriciellement et inverser...
Bon courage

[Claire]

Pardonnez moi, je vais faire le tableau sous la forme de ligne :
Voiture I : 1 alarme --> 8010€
Voiture II : 1 auto-radio --> 7839€
Voiture III : 1 auto-radio + 1 hauts-parleurs --> 7938€
Voiture IV : 1 alarme + 1 enjoliveurs --> 8190€
Voiture V : 1 alarme + 1 auto-radio +1 hauts-parleurs --> 8248€

Suite de l'énoncé :
Ainsi le prix de la voiture avec alarme est de 8010€
On note x le prix de la voiture sans accessoire et a, b, c, et d les prix respectifs de l'alarme, de l'auto radio, des enjoliveurs et des hauts parleurs. Calculez x, a, b, c, et d.

Ce que j'ai fais :

Voiture I :
(1a+0b+0c+0d)+x=8010
1a+x

Voiture II :
1b+x =7839

Voiture III :
(1b+1d)+x=7938

Voiture IV :
(1a+1c)+x=8190

Voiture V :
(1a+1c+1d)+x=8248

Ecrit sous forme de matrice on aurait cela :
(1 0 0 0)
(0 1 0 0)
(0 1 0 1)
(1 0 1 0)
(1 1 0 1)

Ce n'est pas une matrice carrée, elle n'est donc pas inversible.. Voila mon problème

[sos-math(21)]

Je comprends mieux (donc il n'y a pas d'anti-brouillards en inconnue ?)
On a donc en fait 5 inconnues : x, a, b, c, d , donc on va considérer le vecteur colonne d'inconnue \(X=\left(\begin{array}{c}x\\a\\b\\c\\d\end{array}\right)\) et un vecteur colonne de valeurs
\(B=\left(\begin{array}{c}8010\\7839\\7938\\8190\\8248\end{array}\right)\)
Tu as cinq lignes à ton tableau donc tu peux écrire cinq équations à cinq inconnues ce qui fera bien un système matriciel \(MX=B\) où \(M\) est une matrice carrée 5x5 que tu pourras chercher à inverser.
par exemple la première équation est x+a=8010 donc la première ligne de ta matrice M est \(\left(\begin{array}{ccccc}?&?&?&?&?\\\end{array}\right)\).
A toi de faire la suite.
Bon courage

[Claire]

Les enjoliveurs et les antibrouillards sont le même accessoires

Si je suis le raisonnement, on aura
M =
(1 0 0 0 1)
(0 1 0 0 1)
(0 1 0 1 1)
(1 0 1 0 1)
(1 1 0 1 1)

Et après avec l'inverse qu'on multiplie par B on trouve le résultat. Merci bien, en fait, j'avais oublier de prendre x comme inconnu dans M !
Merci bien de votre aide

[sos-math(21)]

Bonjour,
Pour cette matrice M que tu as obtenue, tu as mis le x en dernière inconnue, n'est-ce pas ?
Car si tu avais pris le même vecteur colonne que moi, \(X=\left(\begin{array}{c}x\\a\\b\\c\\d\end{array}\right)\), tu aurais comme première ligne (1 1 0 0 0).
De tout façon cela n'a pas d'importance, à partir du moment où ton x est toujours à la même position.
Bon courage