RECIPROQUE DU THEOREME DE PYTHAGORE

[AUDREY]

Bonjour,

Voici l'énoncé : ABCD est un rectangle de centre O. Sur la figure, I est au milieu du segment [AB] et M est à l'intersection de (CI) et (OB).
On se propose de démontrer que les droites (CI) et (DB) sont perpendiculaires.
1- Calculez les valeurs exactes de IC et DB.
2- a. Démontrez que M est le centre de gravité du triangle ABC.
b. Déduisez des questions précédentes les valeurs exactes de MI et MB.
3- Démontrez que les droites (IC) et (BD) sont perpendiculaires.

J'ai réussi la question 1. IC = V6 et DB = V12.
J'ai réussi à démontrer que M est le centre de gravité du triangle ABC et je pense avoir trouvé les valeurs exactes de MI et MB.
Mais quand j'utilise la réciproque du Théorème de Pythagore les résultats sont faux, les droites (IC) et (DB) ne sont pas perpendiculaires.
Cet exercice a déjà été posé sur le forum, il m'a aidé pour la question 2 b. mais je suis bloquée.
Mes calculs :

Le point M se situe aux 2/3 de [CI] en partant de C, donc MI = 1/3.
IC = V6 donc MI = V6/1/3 = V6 X 3/1 = 3V6
Le point M se situe aux 2/3 de [BO] en partant de B donc MB = 2/3
BO = BD/2 = V12/2 avec la formule Va/Vb = Va/b donc V12/V4 = V12/4 = V3
donc MB = V3/2/3 = V3X3/2 = 3V3/2.
Réciproque : IMB est un triangle tel que IM = 3V6 MB = 3V3/2 et IB = 2V2/2 = V2
Le plus grand côté est IB
d'une part IB² = V2² = 2
d'autre part IM² + MB² = (3V6)² + (3V3/2)² = 9X6 + 9X3/4 = 54+27/4 = 60,75
donc mon résultat est faux, et je ne trouve pas l'erreur.
Merci de m'aider

[sos-math(20)]

Bonjour Audrey,

Difficile pour moi de t'aider car je ne connais pas les mesures qui te sont données sur ta figure (que je n'ai pas non plus !).

Donne-moi ces renseignements pour que je puisse trouve ton erreur.

A bientôt sur SOS-math

[AUDREY]

Voici mon exercice

[sos-math(21)]

Bonjour,
On a bien : \(IC=\sqrt{6}\) et \(BD=\sqrt{12}=\sqrt{4\times 3}=\sqrt{4}\times \sqrt{3}=2\sqrt{3}\)
dans le triangle ABC, O est le milieu de [AC] (diagonales d'un rectangle qui se coupent en leur milieu donc [BO] est une médiane de ABC.
De même I milieu de [AB] donc [CI] est une autre médiane de ABC et M, point d'intersection de [BO] et [CI] est donc le centre de gravité de ce triangle.
On sait que le centre de gravité est situé aux deux tiers de chaque médiane en partant du sommet donc \(MI=\frac{1}{3}CI=...\) et \(MB=\frac{2}{3}BO=\)
trouve les valeurs exactes de ces deux longueurs et fais les calculs de carrés de longueurs dans le triangle BMI : la réciproque de Pythagore doit s'appliquer.
Bon courage

[AUDREY]

J'ai marqué mes résultats sur le message précédent.
J'ai trouvé que IC = V6 et MI = 1/3 de IC donc MI = V6/1/3 = V6 X 3/1 = 3V6
Et j'ai trouvé que BO = BD/2 = V12/2 donc V12/V4 (avec la formule Va/Vb = Va/b) V12/4 = V3
Donc MI = 3V6 et BO = V3
On me demande de calculer MB.
MB = 2/3 de OB donc MB = V3/2/3 = V3 X 3/2 = 3V3/2
Est-ce que ces résultats sont bons ?

[sos-math(21)]

Attention,
tu ne traduis pas correctement être au tiers d'une longueur : Si j'écris que \(MI=\frac{1}{3}CI\) cela signifie que l'on multiplie 1/3 par CI (toi tu divises)
On a donc pour le premier : \(MI=\frac{1}{3}\times CI=\frac{1}{3}\times \sqrt{6}=\frac{\sqrt{6}}{3}\)
Reprends ton erreur pour le deuxième côté.
Bon, courage

[AUDREY]

D'accord, si j'ai bien compris MB = 2/3 x BO sachant que BO = BD/2 = V12/2 = V12/V4 = V3 donc MB = 2/3 X V3 = 2V3/3.

[sos-math(21)]

Oui c'est cela :
\(MI=\frac{\sqrt{6}}{3}\) et \(BM=\frac{2\sqrt{3}}{3}\)
Bon courage pour la suite

[marie]

j'ai pas trop bien compris pour 2)b

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Marie,

Que n'as-tu pas compris ?
M est le centre de gravité donc \(MI=\frac{1}{3}CI\) et \(MB=\frac{1}{3}BD\).

A bientôt