Etude de factorisation de polynôme en utilisant sa dérivée.

[Patrick]

Bonjour,

Un petit problème sur le thème de l'étude de la factorisation d'un polynôme associé à l'utilisation de sa dérivée.
MERCI pour la vérification de la logique, un gros morceau pour moi.

On dit qu'un polynôme \(P\) est factorisable par \((x-a)^2\) s'il existe un polynôme \(R\) tel que : \(P(x)=(x-a)^2R(x)\)
On admettra que pour tout polynôme \(P\text{ et }\forall a\in\mathbb{R}\), il existe un polynôme \(Q\) tel que : \(P(x)= P(a)+(x-a)Q(x)\)
- 1) Démontrer que : \(P'(a)= Q(a),\)
- 2) En déduire que \(P\) est factorisable par \((x-a)^2\) SI et seulement SI \(P(a)=P'(a)=0,\)
- 3) Soit \(P(x)=n x^{n+1}-(n+1)x^n +1,\) montrer que \(P\) se factorise par \((x-1)^2.\)
_______________________________________________________________

- 1°) Pour le calcul de la dérivée, on dérive les deux membres de :
\(P(x)= P(a)+(x-a)Q(x)\) avec \(P(a)\) un nombre, donc \(P'(a)=0\),
\(P'(x)=[P(a)]'+[(x-a)Q(x)]'=0+(x-a)Q'(x)+1\times Q(x)\)
Maintenant, dans cette expression, remplaçons \(x\) par la valeur \(a\) :
\(P'(a)=(a-a)Q'(a)+Q(a)=Q(a),\) CQFD.

- 2°) De fait, cela revient à démontrer une équivalence :
- \(A)\) L'implication directe :
\(P(x)=(x-a)\times R(x)\ \Rightarrow\ P(a)=0,\)
\(P'(x)=2\times(x-a)R(x)+(x-a)^2R'(x)\quad\Rightarrow\quad P'(a)=0,\) car \((x-a)\) se factorise.
- \(B)\) L'implication réciproque :
\(P(a)=P'(a)=0\quad\Rightarrow\quad P(x)=(x - a)Q(x)\ \Rightarrow\ P'(x)=Q(x)+(x-a)Q'(x)\)
\(Q\) est un polynôme qui s'exprime ainsi : \(Q(x)=Q(a)+(x-a)Q'(x)\)
Puisque \(P'(a)=Q(a)=0,\) si on pose \(Q'(x)=R(x),\) il s'en suit :
\(Q(x)=Q(a)+(x-a)Q'(x)=(x-a)R(x)\ \Rightarrow\ P(x)=(x-a)^2R(x).\)
C'est démontré : \(\Big(P\)factorisable par \((x-a)^2\Big)\quad\Longleftrightarrow\quad\Big(P(a)=P'(a)=0\Big).\)

- 3°) Ce cas est une application des résultats précédents :
\(P(1)=n\times 1^{n+1}-(n+1)\times 1^n+1=0\)
\(P'(x)=n(n+1)x^n-n(n+1)x^{n-1}=n(n+1)(x^n-x^{n-1})\)
\(P'(1)=n(n+1)(1^n-1^{n-1})=0\)
Finalement, on vient de démontrer que :
\((P(1)=P'(1)=0)\quad\Longleftrightarrow\quad P\) est factorisable par \((x-1)^2.\)

J'attends vos remarques,
@+

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

1) ok

2) A)au niveau du détail : il manque un carré à la première ligne de calcul.
B) réciproque
au niveau de la rédaction et de la logique il est bon d'évoquer une hypothèse seulement si elle est nécessaire pour l'implication:
ainsi P(a)=0 ( 1ère hypothèse) entraine il existe un polynome Q tel que P(x)=(x-a)Q(x)
On a alors P'(x)=Q(x)+(x-a)Q'(x)
or ( 2ème hypothèse) P'(a)=0 donc Q(a)=0, donc il existe un polynome R tel que pour tout réel x, Q(x)=(x-a)R(x) et donc P(x)=(x-a)²Q(x)
3) l'application est sans problème

sosmaths

[Invité]

2) A)au niveau du détail : il manque un carré à la première ligne de calcul.
B) réciproque
au niveau de la rédaction et de la logique il est bon d'évoquer une hypothèse seulement si elle est nécessaire pour l'implication:
ainsi P(a)=0 ( 1ère hypothèse) entraine il existe un polynome Q tel que P(x)=(x-a)Q(x)
On a alors P'(x)=Q(x)+(x-a)Q'(x)
or ( 2ème hypothèse) P'(a)=0 donc Q(a)=0, donc il existe un polynome R tel que pour tout réel x, Q(x)=(x-a)R(x) et donc P(x)=(x-a)²Q(x)

Merci beaucoup pour ta réponse, car j'ai eu du mal à le faire (4h minimum).

@+