Exercice Vecteurs

[Valentin]

Tout d'abord bonjour,
avant les vacances notre professeur de Mathématiques nous a donné un D.M à rendre à la rentrée. Dans celui-ci je bloque sur plusieurs questions, voici ce que j'ai fait et là où j'ai du mal :

énoncé : ABCD est un rectangle tel que AB=2AD. Les point I et K sont les milieux rspectifs de [AB] et [CD].

voici le schéma : http://imageshack.us/photo/my-images/822/pfld.png/

1.Exprimer DI(vecteur)en fonction de AB(vect.) et CD(vect.).

J'ai écris : (information : DI, DA, etc sont tous de vecteurs)
DI = DA + AI
On sait que DA=-AD et que AI=1/2AB
Donc DI=-AD+1/2 AB

2.Soit E le point défénipar DE=2/3 DI
a) Exprimer AE en fonction de AB et AD :

(j'ai trouvé quelque chose mais je suis pas sûr)

AE = AD + DE
AE = AD + 2/3 DI
(Etant redoublant et d'après ce dont je me souviens, je crois que l'on peut dire par rapport à cette figure que DI = AI donc :)
AE = AD + 2/3 AI
(Si AI = 3/3et que c'est la moitié de AB, AI = 3/6 AB)
AE = AD + 2/6 AB
AE = AD + 1/3 AB
mais pour que ce soit juste il faudrait que ce soit AE = AD + 1/3 AB - 2/3 AD
AE = AD - 2/3 AD + 1/3 AB
AE = 1/3 AD + 1/3 AB

et ensuite dans la b) En déduire que AE = 1/3 AC
Mais ça je sais pas comment faire à part
1/3 AC = 1/3 AD + 1/3 AB

Merci beaucoup d'avance pour votre aide.

[sos-math(21)]

Bonsoir,
on a bien \(\vec{DI}=-\vec{AD}+\frac{1}{2}\vec{AB}\).
Ensuite, on a bien avec la relation de chasles : \(\vec{AE}=\vec{AD}+\vec{DE}=\vec{AD}+\frac{2}{3}\vec{DI}=\vec{AD}+\frac{2}{3}\left(-\vec{AD}+\frac{1}{2}\vec{AB}\right)=\vec{AD}-\frac{2}{3}\vec{AD}+\frac{1}{3}\vec{AB}=\frac{1}{3}\vec{AD}+\frac{1}{3}\vec{AB}=\frac{1}{3}\left(\vec{AB}+\vec{AD}\right)\)
Or que vaut \(\vec{AB}+\vec{AD}\) ? Utilise la somme de deux vecteurs de même origine (règle du parallélogramme)
Cela te permettra de conclure.
Bon courage

[Valentin]

Merci beaucoup,
J'ai pu continuer l'exercices sans problème mais arrivé au dernier point, je ne sais pas comment faire, pouvez vous me mettre sur la piste ?

tout d'abord voici la suite :

c. Que peut-on dire des points A,C et E ?

On en déduit que les points A,C et E sont alignés.

3. Soit F le symétrique de A par rapport à E.
a. Exprimer \vec{AF} en fonction de \vec{AC} .

\vec{AF}=\frac{2}{3}\vec{AC}

b. En déduire l'expression de \vec{AF} en fonction de \vec{AB} et \vec{AD}

\vec{AF}=\frac{2}{3}\vec{AC}
On sait que \vec{AC}=\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AB}+\vec{AD}
On en déduit que \vec{AF}=\frac{2}{3}\left(\vec{AB}+\vec{BC})=\frac{2}{3}\left(\vec{AB}+\vec{AD})
donc \vec{AF}=\frac{2}{3}\vec{AB}+\frac{2}{3}\vec{AD}

4.Exprimer \vec{BK} en fonction de \vec{AB} et \vec{AD}
On sait que \vec{IK}=\vec{AD}=\vec{BC}

\vec{BK}=\vec{BI}+\vec{IK}
\vec{BK}=\frac{1}{2}\vec{BA}+\vec{AD}
\vec{BK}=\vec{AD}-\frac{1}{2}\vec{AB}

5. Démontrer que F appartient à la droite (BK).

(C'est ce point là sur lequel j'ai des difficultés)
J'ai regroupé quelques informations que je connais depuis le début et qui, je pense, pourraient m'être utiles :

On se rappel que \vec{AB}={2}\vec{AD}

ce qui veut dire que AIKD et IBCK sont des carrés

On a déja vu que :
Dans le carré AIKD on a la diagonale DI avec :
\vec{DI}=\vec{DA}+\vec{AI}
donc \vec{DI}=\vec{KB} ou \vec{ID}=\vec{BK}

On sait que D, E et I sont alignés.

\vec{EA}+\vec{AD}=\vec{DE}

C'est la même chose pour le carré IBCK :

\vec{BC}+\vec{CF}=\vec{BF}=

B, F et K sont alignés.

(voilà ce que j'ai comme informations, je sais que je peux faire quelque chose avec cela mais je ne sais pas comment bien l'organiser, je vous remercie d'avance pour votre aide.)

[sos-math(21)]

Bonjour,
tes réponses sont correctes jusqu'à la dernière question.
Pour celle-ci, il faut se servir de ce que tu as prouvé.
On peut montrer que \(F\in(BK)\), en montrant que \(\vec{BK}\) et \(\vec{BF}\) sont colinéaires, c'est à dire qu'il faut qu'on arrive à écrire \(\vec{BK}=k\vec{BC}\)
Partons encore une fois de \(\vec{BF}=\vec{BA}+\vec{AF}\), remplace \(\vec{AF}\) par son expression en fonction de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AD}\), arrange les calculs pour
retrouver à un coefficient près l'expression de \(\vec{BK}\) en fonction de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AD}\).
Bon courage

[Valentin]

Bonsoir,
encore merci beaucoup pour votre aide, sauf que cette fois si je n'y arrive toujours pas..

J'ai noté au brouillon : [(v) = vecteur]

F appartient à (BK)
BK(v)=k*BK(v)

BF(v)=BA(v)+AF(v) BK(v)=BI(v)+IK(v)
BF = -1/3 AB + 2/3 AD BK = AD - 1/2 AB

Mais je réfléchi encore de la façon dont je peux démontrer que F appartient à (BK).. Merci d'avance !

[sos-math(21)]

Bonsoir,
je reprends mon message :

Bonjour,
tes réponses sont correctes jusqu'à la dernière question.
Pour celle-ci, il faut se servir de ce que tu as prouvé.
On peut montrer que \(F\in(BK)\), en montrant que \(\vec{BK}\) et \(\vec{BF}\) sont colinéaires, c'est à dire qu'il faut qu'on arrive à écrire \(\vec{BK}=k\vec{BC}\)
Partons encore une fois de \(\vec{BF}=\vec{BA}+\vec{AF}\), remplace \(\vec{AF}\) par son expression en fonction de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AD}\),

On a donc : \(\vec{BF}=\vec{BA}+\vec{AF}=\vec{BA}+\frac{2}{3}\left(\vec{AB}+\vec{AD}\right)=\frac{2}{3}\vec{AD}-\frac{1}{3}\vec{AB}\)
Tu l'avais trouvé et tu n'es vraiment pas loin de la solution :
Si on factorise par \(\frac{2}{3}\), on a \(\vec{BF}=\frac{2}{3}\left(...+...\right)\), je te laisse terminer, tu dois retrouver un vecteur connu...
Bon courage

[Valentin]

Ah oui, merci beaucoup pour votre aide, j'ai trouvé :

BF=2/3 AD - 1/3 AB
BF=2/3(AD-1/2 AB)
donc BF=2/3BK

Bonne soirée, merci encore !

[sos-math(21)]

Très bien !
Je pense que tu as terminé ton exercice donc je verrouille le sujet.
Bon courage pour la suite.