Suite géométrique

[Jean]

Bonjour,
j'ai quelques difficultés à faire ces exercices, est ce que quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plaît ?

Soit (Un) la suite définie par U1 = 3/2 et Un+1 = (nUn +1)/(2(n+1))

Soit (Vn) la suite définie pour tout entier n supérieur ou égal 1. Vn = nUn - 1

1. Montrer que (Vn) est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
2. En déduire que pour tout entier n supérieur ou égal à 1, Un = (1+(1+0,5n)(0,5)puissance n)/(n(n+1))
3. Déterminer la limite de la suite (Un)
4. Justifier que pour tout entier n supérieur ou égal 1; Un+1 - Un = -(1+(1+0,5n)(0,5)puissance n)/(n(n+1))
5. En déduire le sens de variation de la suite (Un)

J'ai sais faire le 1) mais à partir du 2) je bloc

[sos-math(12)]

Bonsoir:

la réponse à la première question te permet d'exprimer directement \(v_n\) en fonction de \(n\) et donc par conséquence \(u_n\) en fonction de \(n\).

Bonne continuation.

[Jean]

Bonsoir, je voulais savoir est ce que pour le 1) la raison est bien 1/2 ?

[sos-math(20)]

Bonjour Jean,

La raison de la suite géométrique \((v_n)\) est bien égale à \(\frac{1}{2}\).

Bonne continuation.

SOS-math

[Jean]

Pour le 2) je trouve Un = (npuissance n + 4n) /(4n)

Et enfet la question du 2) c'est En déduire que pour tout entier n supérieur ou égal à 1, Un = (1+ 0, 5puissance n) / (n)

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Tu as du trouver que \(v_n=v_1\times\frac{1}{2^{n-1}}\), puis en calculant on a \(v_1=\frac{1}{2}\) donc \(\v_n=\frac{1}{2^n}\)
Ainsi si tu as \(v_n\), tu peux retrouver \(u_n\) : \(nu_n-1=\frac{1}{2^n}\), il reste à passer le -1 de l'autre côté et à diviser par n, tu dois retrouver l'expression que tu as citée.
Bon courage

[Jean]

Voilà ce que j'ai fais :

Vn = nUn -1 = 1/2puissance n
nUn -1 = 1/2puissance n
nUn. = 1/2 puissance n +1
nUn = 1/2 puissance n + 2puissance n/ 2puissance n
nUn. = 1+ 2puissance n / 2puissance n
Un = (1+ 2puissance n / 2puissance n) / n

Au final je ne trouve pas le résultat demandé

[sos-math(21)]

Si on veut,
mais tu peux laisser \(U_n=\frac{1}{n}\left(1+\frac{1}{2^n}\right)\).
Bon courage pour la suite

[Jean]

Donc
Un = (1+ 2puissance n / 2puissance n)(1/n) equivaut à (1+ 0, 5puissance n) / (n) ?

3) Pourbla limite de la suite Un on utilise quel méthode?

[sos-math(21)]

Oui, c'est la même chose,
Pour la limite, il suffit d'étudier la limite quand \(n\to +\infty\) des deux facteurs \(\frac{1}{n}\) et \(1+\frac{1}{2^n}\).
On en déduit facilement la limite de \(U_n\) quand \(n\to +\infty\)
Bon courage

[Jean]

Quand n tends vers +infini sa limite est +infini ?

Pour la 4) ilvfaut faire la démonstration par récurrence?

[sos-math(21)]

Bonjour,
Non je ne suis pas d'accord avec ta réponse :
détermine : \(\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=..\)
et \(\lim_{n\to+\infty}1+\frac{1}{2^n}=..\)
Pour la 4, je ne pense pas qu'il fasse faire une récurrence : il faut reprendre l'expression trouvée pour \(U_n\), et utiliser la relation de récurrence définissant \(U_{n+1}\) en fonction de \(U_n\) puis combiner tout cela dans le calcul \(U_{n+1}-U_n\).
Bon courage

[Jean]

Bonjour,

Voici ce que j'ai trouvé :
limite n tend vers +infini de 1/n est 0
limite n tend vers +infini de 1 + 1/2puissance n = 1 + 1/2puissance n

[SoS-Math(4)]

Bonsoir,

La première limite est juste.

La seconde limite contient n dans son résultat, ça ne va pas.

Recalcule cette deuxième limite.

sosmaths

[Jean]

Le fait qu'il y ait puissance n me bloque est ce que le chiffre reste quan même un réel ou il faudrait mettre au même dénominateur?