[Arithmétique] divisibilité

[Patrick]

Bonjour,

C'est un exercice assez difficile (for me), Merci pour la correction.

Soit \(n\) et \(m\) deux entiers naturels non nuls.
1. On suppose que \(m|(5n+31)\) et \(m|(3n+12)\); démontrer que \(m|33\).
2. En déduire les valeurs possibles de \(m\). Donner un exemple d'entiers \(n\) dans chaque cas.
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1. Je remarque que \(3\times 31-5\times 12=33,\) ce qui m'incite à poser :
\(A=5n+31\) et \(B=3n+12,\)
de façon à éliminer \(n\) par une combinaison linéaire :
\(3A=15n+93\) et \(5B=15n+60,\) donc \(3A-5B=33\);
C'était la 1ère étape pour répondre à la question :
\((m|A\text{ et }m|B)\Rightarrow (m|3A\text{ et }m|5B)\Rightarrow m|(3A-5B)\Rightarrow m|33.\)
Ok CQFD, mais comment fait-on si l'on ne remarque pas la combinaison linéaire ?

2. Les valeurs possibles pour \(m\) :
\(m|33\quad\Leftrightarrow\quad m|1\times 3\times 11\) de sorte que : \(m=1,\ m=3,\ m=11\) ou \(m=33.\)
- Je ne suis pas sûr d'avoir compris correctement la dernière question, déterminer \(n\) dans chaque cas suivants :
\(3|(5n+31),\ 11|(5n+31),\ 3|(3n+12)\) et \(11|(3n+12)\ ?\)
Ce qui revient à chercher des entiers, multiples de \(3\) et de \(11\), pour lesquels il existe, dans chaque cas, un entier \(m\) qui vérifie :
1er cas : \(3|(5n+31)\) condition vérifiée pour \(n=1,\) puisque \(3|36\)
2ème cas : \(11|(5n+31)\) condition vérifiée pour \(n=7,\) puisque \(11|66\)
3ème cas : \(3|(3n+12)\) condition vérifiée pour \(n=1,\) puisque \(3|15\)
4ème cas : \(11|(3n+12)\) condition vérifiée pour \(n=7,\) puisque \(11|33\)
- Pour les cas : \(1|(5n+31)\) et \(1|(3n+12)\), trivial car c’est valable quel que soit \(n\), puisque 1 divise tous les nombres.
- De même pour : \(33|(5n+31)\) et \(33|(3n+12)\) même résultat qu'au 2ème cas ?

@+

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Patrick,

Je crois que la première idée est de chercher un multiple commun en faisant \(3(5n+31)\) et \(5(3n+12)\), ensuite il est difficile de passer à côté de \(93-60 = 33\), la combinaison linéaire s'impose donc, mais il est vrai que si on ne sait pas trop par où commencer cela risque d'être dur.

Pour la question 2, je pense que c'est juste, mais il faut donner toutes les valeurs de \(n\), par exemple dans le cas 1) tu proposes \(n = 1\), mais \(n= 4\) convient de même que \(n = 7\) ...

A préciser, bon courage

[Patrick]

Pour la question 2, je pense que c'est juste, mais il faut donner toutes les valeurs de \(n\), par exemple dans le cas 1) tu proposes \(n = 1\), mais \(n= 4\) convient de même que \(n = 7\)

Dans l'énoncé, on précise bien un exemple d'entiers \(n\) dans chaque cas, je n'ai pas cherché plus loin...

Merci et @+