congruences

[hyppolite]

Bonjour
j'aimerai savoir si pour démontrer çà:
a : entier naturel non divisible par 7
a^6 congu 1 [7]
je pouvais faire une récurrence en démontrant pour [0 , +l'infinie[ puis pour ]-l'infinie , 0[ la propriété ?
ça donnerai


initialisation : déontrons la prop au rang premier
0^6 congru 1 mod 7 est vraie d'où lorsque a=1 alors a^6 congru 1 mod 7 est vraie

Hérédité : supposons la prop vraie pour un certain rang k, tel que k^6 congru 1 mod 7 soit vraie
Démontrons au rang k+1 telle que (k+1)^6 congru 1 mod soit vraie

(k+1)^6 =k^6+5k^5+10k^4+10k^3+5k^2+5k+1 et 1^6=1
on sait que k^6 congru 1 mod 7
d'où (k+1)^6 congru k^6+5k^5+10k^4+10k^3+5k^2+5k+1 congru 1 +0 modulo 7

conclusion : pour tout a appartenant à z et non divisible par 7 alors a^6congru 1 mod 7

sauf que le problème c'est que ma démonstration est fausse car 5k^5+10k^4+10k^3+5k^2+5k+1 n'est pas divisible par 7

dans ce cas là çà signifit qu'on ne peut pas démontrer la prop par récurrence mais alors comment pourrait-on faire ?

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Hyppolite,

Comment veux-tu faire une récurrence alors qu'il n'y a pas d'entier n dans ta propriété ?

Pour démontrer cette propriété, je pense qu'il faut utiliser tous les restes possibles de la division de a par 7 ...
1 est un reste possible, donc si \(a\equiv 1 [7]\) alors \(a^6\equiv 1^6 [7]\) soit \(a^6\equiv 1 [7]\)
2 est un reste possible, donc si \(a\equiv 2 [7]\) alors \(a^6\equiv 2^6 [7]\) soit .... à toi de terminer.
etc ...

SoSMath.

[hyppolite]

oui
si r=3 et a congru 3 modulo 7 d'où a^6 congru 729 modulo 7
et ainsi de suite mais je vois pas où cela peux ammener et à quoi ça sert

[SoS-Math(9)]

Bonjour Hyppolite,

Tu as : a^6 congru 729 modulo 7 et 729 = 104*7 + 1 donc a^6 congru 1 modulo 7 (c'est bien le résultat que tu recherches ?)

SoSMath.

[hyppolite]

ah oui, c vrai merci

[hyppolite]

oui voilà sauf que là on vient juste de remarquer une périodicté, mais ce n'est pas une démonstration
cette dernière consisterait en une dijonction des cas : avec des entiers de 1 à 6
ce qui donnerait
a congru 1 mod 7 d'où a^6 congru 1 mod 7
a congru 2 mod 7 d'où a^6 congru 2^6 congru 1 mod 7
a congru 3 mod 7 d'où a^6 congru 3^6 congru 1 mod 7
a congru 4 mod 7 d'où a^6 congru 4^6 congru 1 mod 7
a congru 5 mod 7 d'où a^6 congru 5^6 congru 1 mod 7
a congru 6 mod 7 d'où a^6 congru 5^6 congru 1 mod 7

et là normalement c'est bon

donc pour tout a appartenant aux entier naturels non nul on a : a^6 congru 1 mod 7

[sos-math(21)]

Bonjour,
Le but des congruences est de nous faire gagner du temps :
si on sait que \(a\eq b \, mod(n)\), alors \(a^p\eq b^p\,mod(n)\)
Donc si tu sais que \(a\eq 1 \,mod(7)\), alors \(a^6\eq 1^6 \, mod(7)\) donc \(a^6\eq 1\,mod(7)\)
S'il faut le faire autant de fois qu'il y a de possibilités, alors faisons le mais il y a un nombre fini de cas à envisager : donc si on étudie tous les cas alors, on a bien fait une démonstration.
Donc ton travail me semble correct.
Bon courage

[hyppolite]

merci