divisibilité

[augustin]

Bonjour, j'ai du mal à trouver le reste de ces division euclidienne :

2^(p*q) = (2^p-1) *k +r avec k appartient à z non nul et 0 <= r < (2^p-1) et p et q sont des entiers naturels non nuls

sauf que le problème c'est que je trouve en reste 2^q or on ne sait pas si 2^q est inférieur strictement à (2^p-1) donc ça ne peut pas être le reste mais alors je n'arrive pas à le trouver

et ensuite dans une autre question c'est marqué en déduire (du résultat trouvé juste au dessus) que 2^(pq) - 1 est divisible par 2^(p-1) or la aussi je trouve un reste non nul , donc ça ne va pas, il doit bien y avoir une solution mais je ne la vois pas, pourriez-vous m'éclairer s'il vous plait.
Merci

[sos-math(21)]

Bonjour,
L'existence de k et r est assurée par la division euclidienne.
Es-tu sur de ton énoncé ? Est-ce la divisibilité par \(2^{p-1}\) ou \(2^p-1\) ?
A bientôt.

[augustin]

c'est la division par 2^(p) - 1

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Connais-tu la formule :
\(a^n-b^n=(a-b)\times (b^{n-1}+ab^{n-2}+....+a^{n-2}b+a^{n-1})\) valable pour a et b entier et n entier naturel non nul.
Elle montre que a-b divise \(a^n-b^n\)
Si tu l'appliques ici avec \(a=2^p\), \(b=1\) et \(n=q\) on prouvera que \(2^p-1\) divise \((2^p)^q-1^q=2^{pq}-1\) et cela suffira.
Je me dis que ton énoncé est incomplet il manque des questions entre la première demande et la dernière.
Pour la première, je persiste à dire qu'on te demande l'existence de k et r (sans obtenir nécessairement une expression de k et de r) : cette existence est assurée par la division euclidienne de \(2^{pq}\) par \(2^p-1\).
Y-a-t-il des questions intermédiaires qui me permettraient de recoller les pièces du puzzle ?
Bonne soirée

[augustin]

non il n'y a aucune questions intermédiaires merci pour votre aide

[sos-math(21)]

Peux-tu m'envoyer l'énoncé complet tel qu'il t'a été distribué ?
Est-ce un travail de terminale ?
Merci de me répondre, j'ai des doutes sur certains éléments.