Ordre et encadrements

[Patrick]

Bonjour,

Pas évident cet exercice sur le thème des inégalités avec des encadrements.

Soit \(x\) et \(y\) deux nombres réels strictement positifs.
- 1) Montrez que : \(x+y=1\quad\Longrightarrow\quad x^2+y^2\ge\dfrac{1}{2}\) et \(xy\le\dfrac{1}{4}.\)
- 2) En déduire que : \(x+y=1\quad\Longrightarrow\quad\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge\dfrac{25}{4}.\)
_______________________________________________________

- 1) Pour démontrer ces inégalités, j'utilise les propriétés des identités associées à la fonction carrée.
\(\forall (x,y),\) on a : \((x-y)^2\ge 0\Leftrightarrow x^2+y^2-2xy\ge 0\Leftrightarrow x^2+y^2\ge 2xy,\)
\(x+y\ge 1\Leftrightarrow(x+y)^2\ge 1\Leftrightarrow x^2+y^2+2xy\ge 1\Leftrightarrow x^2+y^2\ge 1-2xy.\)
En faisant une somme membre à membre :
\(( 2xy\le x^2+y^2)+(1-2xy\le x^2+y^2)\quad\Longrightarrow\quad\dfrac{1}{2}\le x^2+y^2\)
Je me sert de ce résultat pour démontrer l'autre inégalité :
\(\left\{2xy\le x^2+y^2 \\\qquad\dfrac{1}{2}\le x^2+y^2\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\{4xy\le 2(x^2+y^2)\\\qquad 1\le 2(x^2+y^2)\right.\quad\Longrightarrow\quad 4xy\le 1\quad\Longrightarrow\quad xy\le\dfrac{1}{4}\)
Même si toutes les quantités sont positives, je me demande si cette soustraction membre à membre est régulière ?
Sinon comment peut-on démontrer ?

- 2) En tenant compte du fait que \(x+y=1\), je trouve que : \(\left(x+\dfrac{1}{x} \right)^2+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2=2+\left(\dfrac{1}{xy}\right)^2\)
Mais, pour conclure, je ne sais pas démontrer la fin...
Merci pour votre aide et vos remarques,

@+

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Si on a x+y=1, alors x=1-y
On peut d'abord montrer \(xy\leq \frac{1}{4}\)
c'est équivalent à l'inégalité \(4xy-1\leq 0\), soit \(4y(1-y)-1\leq 0\)
Or on a \(4y(1-y)-1=-4y^2+4y-1=-[(2y)^2-4y+1]=-(2y-1)^2\leq 0\)
Une fois qu'on a montré cela on peut trouver l'autre :
\(xy\leq \frac{1}{4}\) est équivalente à \({-}2xy\geq \frac{-1}{2}\)
donc \(x+y=1\) implique \((x+y)^2=1\) soit \(x^2+y^2=1-2xy\geq 1-\frac{1}{2}\) donc \(x^2+y^2\geq \frac{1}{2}\)
Pour la deuxième je n'ai qu'une minoration par \(\frac{50}{4}=\frac{25}{2}\). Y a-t-il une erreur d'énoncé ?
Bon courage

[Patrick]

Merci beaucoup pour la réponse. Une erreur dans l'énoncé c'est toujours possible...
Et comment on arrive à ce résultat : \(\frac{50}{4}=\frac{25}{2}\) ?

@+

[sos-math(13)]

La minoration par 25/2 est meilleure que celle par 25/4, et c'est celle qui est correcte, à condition que x et y soient tous les deux strictement positifs. Ce qui donne une piste pour la démonstration.

[Patrick]

Ce que je ne vois pas, c'est comment utiliser les résultats de la 1ère question pour démontrer ceux de la 2ème ?
Je crois que le développement de : \(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2\) n'est pas nécessaire...
Peut être débuter par un encadrement ?

@+

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Patrick,

Pour minorer cette expression, il va falloir développer \(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2\). Les résultats de la première question vont alors te permettre de finaliser cette minoration.

Bonne continuation.

[Patrick]

Merci pour la réponse. On y go, mais je ne connais pas d'astuces pour raccourcir les calculs...
\(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2=\dfrac{(x^2+1)^2}{x^2}+\dfrac{(y^2+1)^2}{y^2}=\dfrac{\left(y(x^2+1)\right)^2+\left(x(y^2+1)\right)^2}{x^2y^2}=\dfrac{(yx^2+y)^2+(xy^2+x)^2}{x^2y^2}\)
Compte tenu que : \(x+y=1\), commençons par développer le numérateur :
\((yx^2+y)^2+(xy^2+x)^2=x^4y^2+2\times 2x^2y^2+y^2+x^2y^4+x^2=x^2y^2(x^2+y^2+4)+x^2+y^2\)
\(=x^2y^2\left((x+y)^2-2xy+4\right)+(x+y)^2-2xy=x^2y^2\left(5-2xy\right)+1-2xy=x^2y^2(5-2xy)+(5-2xy)-4\)
\(=(5-2xy)(x^2y^2-4)=(5-2xy)(xy-2)(xy+2).\)
Donc on a : \(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2=\dfrac{(5-2xy)(xy-2)(xy+2)}{x^2y^2}\)
J'espère que c'est juste ? Ensuite, je ne voie pas comment conclure pour la minoration...
Merci d'avance pour votre aide,

@+

[SoS-Math(4)]

Bonjour ,

Je découvre le sujet;
Votre calcul me semble un peu compliqué, je propose :
\((x+\frac{1}{x})^2+(y+\frac{1}{y})^2=(x^2+y^2)+(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})+4\)


les termes \(\frac{1}{x^2}\) et \(\frac{1}{y^2}\) sont tous deux strictement plus grand que 1, car.(à justifier).....................

donc ...

Bon courage

sosmaths

[Patrick]

D'abord merci pour la réponse !

Je découvre le sujet;
Votre calcul me semble un peu compliqué, je propose :
\((x+\frac{1}{x})^2+(y+\frac{1}{y})^2=(x^2+y^2)+(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})+4\)

Ah oui, un simple développement pour avoir une somme. Ceci dit, J'ai du mal à voir la forme la plus appropriée pour répondre à une question. J'ai factorisé pensant que ce serait plus simple pour la suite...

les termes \(\frac{1}{x^2}\) et \(\frac{1}{y^2}\) sont tous deux strictement plus grand que 1, car.(à justifier)...

Si je prend \(x=1\) et \(y=\dfrac{1}{4}\), les deux inégalités (démontrée à la 1ère question) sont vérifiées, mais je n'ai pas \(\frac{1}{x^2}>1\) ET \(\frac{1}{y^2}>1\) ?
J'essaye bien de tirer profit de la somme, mais je n'arrive pas à conclure...

@+
PS : cet exercice n'est pas un DM.

[sos-math(13)]

Mais je crois que tu oublies que x+y=1 et que x et y sont positifs.

En tout cas bravo, car je ne connais pas beaucoup d'élèves qui mèneraient à bien ces calculs sans se décourager.

[Patrick]

Bonsoir,

Ok merci pour les encouragements :-)
Je viens de me rendre compte que le calcul de ma factorisation est fausse, mais bon continuons...
\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{1-x^2}=\dfrac{1}{x^2(1-x^2)}\)
Avec \(x\ge 0\quad\Longrightarrow\quad 0\le x^2(1-x^2)<1\quad\Longrightarrow\quad\dfrac{1}{x^2(1-x^2)}>1.\)
Donc, j'en déduis que : \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}>1\) Mais, une petite étude de la dérivée de : \(x^2(1-x^2)\)
me permet de déduire que la valeur maximale est \(\dfrac{sqrt{2}}{2}\approx 0.707\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{1}{x^2(1-x^2)}\approx 1.414\)
Au final j'ai : \((x^2+y^2)+(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})+4\approx 0.707+1.414+4=6,121<\dfrac{25}{4}=6.25\)
Il me manque des billes !

@+

[SoS-Math(25)]

Bonjour,

Il y a une erreur dans ta première égalité :

\(\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{y^2} = \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{(1-x)^2} =...\) Mais ce n'est pas le chemin le plus simple....

Tu as l'égalité :

\((x + \dfrac{1}{x})^2 + (y + \dfrac{1}{y})^2 = x^2 + y ^2 + \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{y^2} + 4\).

Tu sais aussi que \(x^2 + y ^2 \geq \dfrac{1}{2}\)

Deux possibilités :

Démontre que \(\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{y^2} = \dfrac{x^2 + y ^2}{(xy)^2}\) puis utilise le a) ou,

Essaye de partir du fait que x et y sont compris strictement entre 0 et 1 pour aboutir à :

\(\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{y^2} \geq 2\)

Bonne journée !

[Patrick]

Et allez, une bourde de plus. Mais en ce qui me concerne, l'optimisme est de rigueur :
"tout va très bien Mme la Marquise" LOL !

Ok, je (re)pars de : \(\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{y^2} = \dfrac{x^2 + y ^2}{(xy)^2}=(x^2+y^2)\times\dfrac{1}{(xy)^2}.\)
\(xy\le\dfrac{1}{4}\quad\Longleftrightarrow\quad 4\le\dfrac{1}{xy}\quad\Longleftrightarrow\quad\left(\dfrac{1}{xy}\right)^2 \ge16\quad\Longleftrightarrow\quad\dfrac{1}{(xy)^2} \ge 16\)
Ces deux inégalités sont rangées dans le même sens et tous les nombres sont positifs :
\((x^2+y^2)\ge \dfrac{1}{2}\quad\text{ et }\quad\dfrac{1}{(xy)^2}\ge 16\)
J'ose effectuer une multiplication membre à membre :
\((x^2+y^2)\times\dfrac{1}{(xy)^2}\ge 16\times\dfrac{1}{2}(=8)\) ?

\((x^2+y^2)\times\dfrac{1}{(xy)^2}\ge 8\quad\Longleftrightarrow\quad(x^2+y^2)\times\dfrac{1}{(xy)^2}+4\ge 12\quad\Longleftrightarrow\quad(x^2+y^2)+(x^2+y^2)\times\dfrac{1}{(xy)^2}+4\ge 12+\dfrac{1}{2}\)
Non, mais je me pince : \(12+\dfrac{1}{2}=\dfrac{25}{2}\) !

Dans tous les cas, MERCI à tous ceux qui se sont repassés le dossier !
@micalement.

PS : Dans mon premier post, j'ai posé une question sur la régularité d'une soustraction membre à membre, alors ?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Patrick,

Tu ne peux pas soustraire membre à membre deux inégalités ... tu peux seulement ajouter son opposé (ce qui change l'ordre !).
Exemple : 2 < 5 et 3 < 7.
on obtient -3 > -7 soit -7 < -3.
On additionne alors membre à membre avec 2 < 5, soit 2+(-7) < 5+(-3) soit -5 < 2.
Remarque que si tu avais soustrait les deux inégalités tu aurais obtenu -1 < -2 ce qui est faux !

SoSMath.

[Patrick]

Quelque chose me "chagrine" encore avec cet exercice !
Peut-on effectuer chaque démonstration en prenant pour hypothèse la véracité de l'autre résultat ?
En effet, dans ce cas là, chaque démonstration dépend de l'autre. C'est possible/juste logiquement ?
\(x+y=1\quad\Longrightarrow\quad(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 1.\)

\(x^2 + y^2 + 2xy = 1\quad\Longrightarrow\quad xy = \frac{1}{2}(x^2 + y^2 - 1)\),
- Si on a \(xy\leq \frac{1}{4}\) on voit que \(x^2+y^2-1\leq \frac{1}{2}\), c-a-d \(x^2+y^2\geq \frac{1}{2}.\)

- Si on a \(x^2+y^2\geq \frac{1}{2}\) avec \(x^2+y^2=1-2xy\quad\Longrightarrow\quad 1-2xy\ge\frac{1}{2},\)
c-a-d \(\ -2xy\ge-\frac{1}{2}\quad\Longrightarrow\quad xy\le\frac{1}{4}.\)

Merci et @+