Exercices de géométrie dans l'espace

[Jérémy]

Bonjour.

J'ai préparé un concours de niveau terminale S et il se trouve que l'épreuve de maths était un QCM. Naturellement, toutes les questions n'étaient pas faciles mais j'ai eu plus particulièrement de mal dans la partie géométrie.
Je me permets donc de vous demander la correction de quelques questions auxquelles je n'ai pas totalement pu répondre. Je souhaiterais avant tout connaître la réponse à la question mais si le cœur vous en dit, j'accepte le détail de votre méthode / calcul avec plaisir !



* Dans l'espace muni d'un repère orthonormal (O,i,j,k) on donne 4 points :
A (1, 2, -1)
B (-3, -2, 3)
C (0, -2, -3)
D (1, 1, 1)

Soient les vecteurs u (-1, 2, 1) et v (2, -1, 1).
1- Dans une première question qui ne m'a pas posé de souci, on établit que A, B et C ne sont pas alignés et que v est normal au plan (ABC). En ce qui concerne les vecteurs, j'ai AB (-4, -4, 4), AC (-1, -4, -2) et BC (3, 0, -6).

2- Soient P le plan dont une équation est : x + y - z + 2 = 0 et d la droite passant par A et dirigée par le vecteur DC.
a) P est orthogonal au plan (ABC) et à la droite d.
b) P n'est orthogonal à aucun de ces éléments.
c) P est orthogonal à (ABC) seulement.
d) P est orthogonal à la droite seulement.

(J'ai sans problème pu calculer les coordonnées de DC : -1, -3, -4.)

3- On considère l'ensemble E des points M de l'espace qui vérifient : || MA - MB + 2 MC || = 12.
L'ensemble E des points M est :
a) une droite
b) un cercle
c) un plan
d) une sphère

Bien entendu, MA, MB et MC sont des vecteurs.
J'ai : MA (1-x, 2-y, -1-z) , MB (-3-x, -2-y, 3-z) , MC (-x, -2-y, -3-z).
En fait, je ne sais pas trop s'il faut calculer premièrement les normes de MA, MB et MC séparément puis faire l'opération MA - MB + 2 MC, ou s'il faut faire cette opération puis seulement après en déduire sa norme ? Peut-être que dans les 2 méthodes on arrive à la même finalité, mais j'ai beaucoup de mal avec les calculs du style...


Merci beaucoup pour le temps que vous prendrez à vos calculs !

Cordialement,
J. Gaudin

[SoS-Math(11)]

Bonjour,

Pour la question 2, c'est la réponse b), le vecteur normal au plan P a pour coordonnées (1 ; 1 ; -1) qui n'est ni orthogonal à \(\vec v\) ni colinéaire à \(\vec {DC}\).

Pour la question 3, c'est la réponse d), il faut faire intervenir le point G, barycentre des points A, B et C affectés respectivement des coefficients 1, -1 et 2 tels que :\(\vec {GA}-\vec{GB}+2\vec{GC}=\vec 0\) pour obtenir : ||\(2\vec{MG}\)||=12 ce qui donne dans l'espace une sphère de rayon 6 et de centre G.
Le barycentre n'est plus du programme de terminale depuis cette année.

A bientôt sur le forum

[Jérémy]

Merci beaucoup pour votre réponse, j'ai réussi à refaire les questions.


Par contre, je crois que le vecteur v est orthogonal au plan P dans la question 2.
En effet, soit n le vecteur normal à P, on le note n (1, 1,-1).
Et on a aussi v le vecteur normal à (ABC) , on le note : v (2, -1, 1).

n . v = 1*2-1*1-1*1 = 0. Donc n et v sont orthogonaux, c'est-à-dire que v est parallèle au plan P ou encore que n est parallèle au plan (ABC), c'est-à-dire que les plans P et (ABC) sont orthogonaux.
C'est la réponse c).

[SoS-Math(11)]

Ok

J'ai fait les calculs un peu trop vite.

Bonne continuation.