Bonjour, j'aurais besoin d'aide...
soit abc un triangle rectangle isocèle en A. Le cercle de centre A et de rayon r ( 0< r < AB) coupe les segments AB et AC respectivement en K et en L. Soit I le milieu de CK.
Demontrer de deux manieres que les droites AI et LB sont perpendiculaires.
J'ai essaye de decomposer mais ce ne doit pas etre la bonne methode..
Produit scalaire
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Martin S
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sos-math(21)
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Re: Produit scalaire
Bonsoir,
Partons de \(2\vec{AI}=\vec{AI}+\vec{AI}=\vec{AC}+\vec{CI}+\vec{AK}+\vec{KI}\), en décomposant le long des deux vecteurs \(\vec{AC}\) et\(\vec{AK}\)\(\).
Comme I est le milieu de \([CK]\), on a \(\vec{CI}+\vec{KI}=\vec{0}\) donc en divisant, on a
\(\vec{AI}=\frac{1}{2}\left(\vec{AC}+\vec{AK}\right)\) (relation qu'on pouvait obtenir facilement si on connait les barycentres (connais-tu cela ?)....
Ensuite on forme le produit scalaire \(\vec{AI}. \vec{LB}\), on remplace le vecteur \(\vec{AI}\) par ce qu'on a trouvé auparavant et on développe : on se retrouve avec deux produits scalaires \(\vec{AK}.\vec{LB}\) et \(\vec{AC}.\vec{LB}\).
Pour ces deux produits scalaires, il faut utiliser une définition du produit scalaire : le produit scalaire \(\vec{AB}. \vec{AC}\) est égale au produit \(\bar{AB}\times \bar{AH}\) (en mesures algébriques, mais c'est encore vrai en produit scalaire avec les vecteurs) où H est le projeté orthogonal de C sur (AB).
Je te laisse appliquer cette formule aux deux produits scalaires.
Bon courage
Partons de \(2\vec{AI}=\vec{AI}+\vec{AI}=\vec{AC}+\vec{CI}+\vec{AK}+\vec{KI}\), en décomposant le long des deux vecteurs \(\vec{AC}\) et\(\vec{AK}\)\(\).
Comme I est le milieu de \([CK]\), on a \(\vec{CI}+\vec{KI}=\vec{0}\) donc en divisant, on a
\(\vec{AI}=\frac{1}{2}\left(\vec{AC}+\vec{AK}\right)\) (relation qu'on pouvait obtenir facilement si on connait les barycentres (connais-tu cela ?)....
Ensuite on forme le produit scalaire \(\vec{AI}. \vec{LB}\), on remplace le vecteur \(\vec{AI}\) par ce qu'on a trouvé auparavant et on développe : on se retrouve avec deux produits scalaires \(\vec{AK}.\vec{LB}\) et \(\vec{AC}.\vec{LB}\).
Pour ces deux produits scalaires, il faut utiliser une définition du produit scalaire : le produit scalaire \(\vec{AB}. \vec{AC}\) est égale au produit \(\bar{AB}\times \bar{AH}\) (en mesures algébriques, mais c'est encore vrai en produit scalaire avec les vecteurs) où H est le projeté orthogonal de C sur (AB).
Je te laisse appliquer cette formule aux deux produits scalaires.
Bon courage