Récurence

[jean - baptiste]

Bonjour , je fais un exercice pour m’entraîner mais je suis bloqué , c'est la question 3 , j'ai pensé utilisé f(x):x+e^(-x) , et j'ai fais f(ln(n)): ln(n) + e^(-ln(n)) , mais après je sais pas quoi faire . Merci de votre aide

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

utilise la formule : -ln(n)= ln(1/n)

sosmaths

[jean - baptiste]

Oui j'avais pas pensé au début mais je me souvenue : e^(-ln(n)) = 1/e^(ln(n)) = 1/n donc f(ln(n)) = ln(n) + 1/n
par contre je bloque totalement sur la question 4 ;
J'ai fais l'étape 1 :
Montrons que la propriété pour n appartient à N est vrai au rang 1
donc U(1) = 0
donc ln(1) < U(1)

donc Ln(n)<Un , la propriété marche au rang 1
étape 2 : Montrons que si la propriété est vraie à un certain rang n , alors elle le sera aussi au rang suivant n+1
ln(n)<Un
ln(n)+e^-(ln(n)) < Un + e^-(Un)
ln(n)+1/n <f(Un)
d'après la question 1 partie A , f est croissante donc ;
ln(n+1)<ln(n)+1/n <Un+1

[SoS-Math(4)]

reprenons l'étape 2

ln(n)>=Un donc f(ln(n))>=f(Un) car f est croissante sur [1 inf[

donc ln(n)+1/n >= U(n+1)

Or ln(n+1)>=ln(n) +1/n d'après 2°)

donc ln(n+1)>=U(n+1)

l'hérédité est montrée;

sosmaths

[jean - baptiste]

je comprend pas pour quoi on passe de ln(n)>=Un à f(ln(n))>=f(Un)

[SoS-Math(4)]

Bonjour ,

f étant croissante sur [1 infini[ on peut écrire : pour tous réel a et b dans [1, infini[, a<b entraine f(a)<f(b)

C'est ce qui est utilisé.
sosmaths

[jean - baptiste]

jai compris , j'avais pas pensé , j 'aurais besoin d'un petit coup de pouce pour la question 6 a) , pour le démarrage . Merci

[sos-math(12)]

Bonjour :

Quelques indications :

Tu sais que l'intégrale conserve l'ordre.
Tu dois pouvoir minorer la fonction \(f(x)=\frac{1}{x}\) sur l'intervalle [k-1;k].
Il te suffit alors de conclure.

Bonne continuation.