devoir maion

[anabelle seconde]

bonjour,

je suis en train de faire mon devoir maison et je ne comprends pas certaines questions.
Voici l'énoncé :

Le but de l'exercice est de démontrer l'étonnante propriété suivante : dans un parallélogramme, la somme des carrés des côtés est égale a la somme des carrés des diagonales.

ABCD est un parallélogramme de centre I.

1)Traduire la propriété à démontrer à l'aide d'une formule. Pour démontrer cette formule, on prend un repère orthonormé d'origine A avec B(1;0)

Je pense que l'égalité est AD au carré + DC au carré + CB au carré + BA au carré = DB au carré + AC au carré.
je ne suis pas sur de cette formule est-ce juste ?

2) On note (d ; d') les coordonnées de D.
a) Calculer les coordonnées de I puis de C en fonction de d et d'.
b)Calculer AB au carré, AC au carré, BC au carré et BD au carré et conclure

3)Application : dans un parallélogramme ABCD, on a : AB=5, BC=3 et AC = 7. Calculer la longueur BD.

Je ne comprends pas les questions 2 et 3. Comment puis-je avoir les coordonnées de différents points dans un parallélogramme ? Quelle est la formule pour calculer la longueur d'une diagonale d'un parallélogramme ?

Merci d'avance

[SoS-Math(11)]

Bonjour Anabelle,

Ta formule est : \(AD^2 + DC^2 + CB^2 + BA^2 = DB^2 + AC^2\) et elle est correcte, tu peux la simplifier car les côtés opposés d'un parallélogramme ont plusieurs propriétés.

2) Je pense que tu dois utiliser la propriété : ABCD est un parallélogramme si et seulement si [AC] et [BD] ont le même milieu : I.

Calcule les coordonnées de I en fonction de d et d' avec B et D, (revois la formule qui te donne les coordonnées du milieu).
Ensuite appelle c l'abscisse de C et c' l'ordonnée de C, utilise de nouveau la formule du milieu avec A et C mais cette fois tu connais le résultat et tu dois rechercher c et c' et n'oublie pas que les coordonnées de A sont (0, 0).

3) Remplace dans la formule que tu as écrit et simplifiée et déduis-en BD.

Bon courage

[anabelle seconde]

comment puis-je calculer les coordonnées de C et de I, je ne comprends toujours pas
Je sais que I est le milieu de DB et AC mais sa ne m'aide pas plus

[sos-math(20)]

Annabelle,

Il n'est pas question ici de calculer avec des nombres mais avec des lettres.
Je t'aide à démarrer : I est le milieu de [BD] donc tu as les formules \(x_I = \frac { x_B +x_D}{2}\) et même chose pour \(y_I\). Remplace maintenant par les coordonnées de B et D données dans l'énoncé et tu auras les coordonnées de I.
Pour le point C, tu devras utiliser le fait que I est aussi le milieu de [AC].

Bon courage.

SOS-math

[anabelle]

j'ai compris la formule et j'ai essayer de calculer x I
je trouve 0,5 est-ce juste ?

[sos-math(20)]

Non ce n'est pas la bonne réponse.
Quelle est la valeur de \(x_B\) ? de \(x_D\) ?

Attention, le résultat de \(x_I\) n'est pas un nombre.

A toi maintenant.

SOS-math

[anabelle]

x B = 1 et x D = d
on arrive donc a 1+d / 2 = 0,5

[sos-math(20)]

Le résultat est bien \(\frac {1+d}{2}\) et c'est tout ! Cela ne vaut pas 0,5 car l'abscisse du point D vaut d et pas un nombre. Tu ne dois pas prendre la valeur numérique que tu as sur ta figure (si tu en as fait une) mais garder la lettre d tout au long des calculs.

SOS-math

[anabelle]

merci beaucoup je pense avoir compris

pour y I je trouve 0 + d' / 2

[SoS-Math(11)]

Ok c'est bien \(\frac{d'}{2}\)
Continue comme cela.

[SoS-Math(11)]

Je reprend l'écritue, c'est bien \(\frac{d^,}{2}\), excuse le bug!

[anabelle]

et pour calculer les coordonnées de c on fait comment car si j'ai compris on ne peut pas utiliser cette formule

[sos-math(20)]

Si, tu dois utiliser la même formule.

Bon courage.

SOS-math

[anabelle]

les coordonnées du point C sont égales à xA + xC ; yA + yC

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

Non, tu dois réutiliser la même formule : \(\frac{x_A+x_C}{2}=x_I\) comme \(x_I=\frac{d+1}{2}\) et \(x_A=0\) car A est l'origine tu peux en déduire \(x_C\), procède de même pour \(y_C\).

Bon courage