problème avec derivée succesives de xcosx et recurrence

[Invité]

Bonsoir à tous, je vous ecris car je n'arrive pas à calculer la dérivée seconde de xcosx
j'ai calculer la derivée première est j'ai trouvé cos x + (x*(-sin x) est-ce le bon resultat?
Par la suite on me demande de calculer la derivée seconde et la derivée troisième mais je bloque!


on me demande ensuite de demontrez par recurrence que pour tout entier naturel n non nul, pour tout réel x:
f^(n)=xcosx(x+(npi/2))+ncos(x+(n-1)*(pi/2))


merci de votre aide


jonathan

[SoS-Math(4)]

Bonsoir Jonathan,

Oui ta dérivée première est juste . Je ne vois pas le problème pour la dérivée seconde. IL suffit de calculer la dérivée de la dérivée.
sosmaths

[Invité]

Si je ne m'abuse d'après la derivée première, la derivée seconde serait

f ''= -sin x + (-sinx)+(cosx*(-cosx))
= -2sin x - cos² x ?

[Invité]

Merci pour votre aide sos math


Si je ne m'abuse d'après la derivée première, la derivée seconde serait

f ''= -sin x + (-sinx)+(cosx*(-cosx))
= -2sin x - cos² x ?


jonathan

[SoS-Math(4)]

Il y a une erreur, il faut reprendre ce calcul

sosmaths

[Invité]

Voilà j'ai recalculer la derivée seconde et j'ai trouvé -2sinx-xcosx
puis la derivée troisième en trouvant -3cosx+xsinx

Cependant pour la recurrence, je ne trouve pas comment faire pour demontrer que:

f^(n)=xcosx(x+(npi/2))+ncos(x+(n-1)*(pi/2))

j'ai prouvé que p(1)(x) etait vrai, c'est à dire:
f(1)(x)= xcos(x+(pi/2))+cosx
= -xsinx+cosx
cela correspond bien avec la derivée première mais je n'arrive pas a prouver que p(n+1) est vrai!!

Jonathan

[SoS-Math(4)]

Bonsoir Jonathan,

Il faut que tu montres que : p(n) vraie entraine p(n+1) vraie.

Tu vas alors dériver la fonction f^(n) en remarquant la chose suivante :
(cos x)'= (-sin x)= cos (x+pi/2)

Le calcul sera alors très simple.

sosmaths

[Invité]

Rebonsoir SOS math
voila j'ai suivi votre conseil, en derivant f(n)' et je bloque sur le resultat

f(n)'= cos(x+(npi/2))-sinx(x+(npi/2))


merci de votre aide, Jonathan

[SoS-Math(10)]

Bonsoir,
Je ne comprends pas votre calcul. Vous devez dériver en fonction de x la dérivée nième de f.
Que veut dire que p(n+1) soit vraie ?
sos math