Bonjour,
Dans un exercice corrigé, on a : Un+1=f(Un). D'où lim (Un+1)=lim(f(Un))=l
On sait que la fonction f est continue . Soit a réel
On a donc lim qd x tend vers a de f(x)=f(a)
Dans la correction on en déduit par continuité f(lim(Un))=f(l) , donc f(l)=l
Comment passe t'on de limf(Un)=limUn+1=l à f(lim(Un))=f(l), par la définition de la continuité?
Limites par continuité
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sos-math(20)
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Re: Limites par continuité
Bonsoir Ali,
L'idée n'est pas d'inverser les symboles limite et f.
On utilise la continuité de f en l, donc \(\lim_{x \to l}f (x) =f(l)\) et la limite de la composée d'une suite et d'une fonction, donc \(\lim_{n \to +\infty}f (u_n) =\lim_{x \to l}f (x)=f(l)\) puisque \((u_n)\) tend vers l : de cela on déduit que \(\lim_{n \to +\infty} u_{n+1}=f(l)\) puisque \(u_{n+1}=f(u_n)\).
Par ailleurs les suites \((u_n)\) et \((u_{n+1})\) ne diffèrent que par leurs premiers termes, donc elles ont la même limite l.
Finalement \(\lim_{n \to +\infty} u_{n+1}=f(l)=l\), d'où l'égalité f(l)=l.
J'espère que cela te permettra de comprendre pourquoi f(l)=l.
A bientôt sur SOS-math
L'idée n'est pas d'inverser les symboles limite et f.
On utilise la continuité de f en l, donc \(\lim_{x \to l}f (x) =f(l)\) et la limite de la composée d'une suite et d'une fonction, donc \(\lim_{n \to +\infty}f (u_n) =\lim_{x \to l}f (x)=f(l)\) puisque \((u_n)\) tend vers l : de cela on déduit que \(\lim_{n \to +\infty} u_{n+1}=f(l)\) puisque \(u_{n+1}=f(u_n)\).
Par ailleurs les suites \((u_n)\) et \((u_{n+1})\) ne diffèrent que par leurs premiers termes, donc elles ont la même limite l.
Finalement \(\lim_{n \to +\infty} u_{n+1}=f(l)=l\), d'où l'égalité f(l)=l.
J'espère que cela te permettra de comprendre pourquoi f(l)=l.
A bientôt sur SOS-math
Re: Limites par continuité
Merci beaucoup, c'est clair maintenant!
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sos-math(20)
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Re: Limites par continuité
A bientôt sur SOS-math, Ali.