Démonstration par récurence

[eleve17]

Bonjour à tous!
J'ai aujourd'hui un petit blocage pour finaliser l'hérédité de la démonstration par récurrence de:
0≤Un<1, sachant que la suite Un est définie par U0=0 et Un+1=(Un+1)/(3-Un).

Après avoir posé, k € IR et n=k, je démontre que 0≤Uk+1<1. Cependant après avoir fait les simplifications nécessaires, je me retrouve avec (Uk-1)/2≤Uk<1.
Et là, c'est le drame!

Ma question est donc, est-il correct de dire que, du fait que (Uk+1)/(3-Uk) est croissant sur ]-∞;+∞[ et que U0=0, alors, 0≤Uk<1??? Sinon, comment faire?

Merciii
A bientôt!

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Bob,

Il faut organiser ton travail, et procéder par étapes.
Tu as deux démonstration à faire : \(0 \leq u_n\) pour tout \(n\) et \(u_n \leq 1\).
Pour la première, \(0 \leq u_n\) pour tout \(n\) :
- la condition initiale est vérifiée.
- Pour l'hérédité ce n'est pas nécessaire de prendre \(k\) puis de poser \(n = k\), tu prends directement \(n\).
Tu supposes que \(u_n\) est positive et tu en déduis que \(0 \leq u_{n+1}\) à l'aide de la formule \(u_{n+1}= \frac{1 + u_n}{3 - u_n}\).
Pour la seconde, \(u_n \leq 1\) pour tout \(n\) :
- la condition initiale est vérifiée.
- pour l'hérédité tu suppose que \(u_{n+1} \leq 1\) à l'aide de la formule \(u_{n+1}= \frac{1 + u_n}{3 - u_n}\).

Bonne continuation

[eleve17]

Merci pour votre réponse.
Cependant en respectant votre procédure, je me retrouve avec \(\frac{1}{3-U_n}\)\(\leq\)\({U_{n+1}\)...
Ou en partant de \({U_{n+1}\), je trouve \(-1\leq\)\({U_{n+1}\)
Pourriez vous me guider...?

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Bob,

Comment trouves-tu \(\frac{1}{3-U_n}\leq{U_{n+1}\) ?
Je pense que tu as remplacé \(u_n\) par \(0\), or tu as une inégalité et tu ne peux pas remplacer.
Etudie la fonction définie par \(f(x)=\frac{1+x}{3-x}\) pour comparer \(u_{n+1 = }f(u_n)\) et \(0\) sachant que \(u_n\) est supérieur à \(0\).

Bon courage