limites de suites

[eleve19]

Bonjour, j'ai de courts exercices à faire sur les limites de suites mai je bloque à certains endroits :
Par exemple
Un = ( n - sin n)/(n^2+1) je sais que la limite du numérateur est + l'infini , la limite du dénominateur + l'infini donc le qutient de ces deux suites Est une forme indéterminée. or je ne sais pas comment lever cette forme indéterminée, car je ne peut pas factoriser.

[sos-math(13)]

Bonjour,

avant de factoriser, tu peux avoir une idée :
le numérateur est assimilable à du degré 1 (le sinus est négligeable, compris entre -1 et 1), et le dénominateur est de degré 2.
Donc le dénominateur va l'emporter à l'infini.

Plus précisément, tu peux factoriser par n ton numérateur et ton dénominateur.

Tu va récolter du sin(n)/n dont tu peux connaître la limite par le théorème des gendarmes (ou plus simplement parce que tu l'as déjà étudiée en cours).

Bon courage.

[eleve19]

re bonjour,
Je suis désolée mais je ne comprends pas, je ne l'ai pas étudiée en cours. Je trouve avec le théorème du gendarme :

Sin n compris entre -1 et + 1 donc Sin n/ n supérieur à -1/n et supérieur à 1/n donc limite de 1- Sin n/n est 0

Au dénominateur on a n + 1/n , la limite du dénominateur est donc n. Donc la limite de Un vaut 0?

[sos-math(13)]

Tu t'en sors très bien.

Quelques détails :
puisque sin(n)/n est compris entre -1/n et 1/n, alors c'est la limite de sin(n)/n qui vaut 0. Donc celle de 1-sin(n)/n vaut 1-0=1.

Du coup il reste après simplification le 1 au numérateur, et le n-1/n au dénominateur.

Il n'y a plus qu'à conclure, comme tu sais le faire.

[eleve19]

Merci beaucoup

[sos-math(13)]

à bientôt sur sos-math.