exercice

[eleve87]

Bonjour,
J'ai des exercices à faire pour la rentrée, mais je bloque sur certaines questions.

On a I = \([tex]\)\int_{0}^{\(\pi\)/2}(cos²x)cos2x dx [/tex]

et J = \([tex]\)\int_{0}^{\(\pi\)/2} (sin²x)cos2x dx [/tex]

1) Montrer que I+J = \([tex]\)\int_{0}^{\(\pi\)/2} cos2x dx [/tex]
et
I-J = \([tex]\)\int_{0}^{\(\pi\)/2} (cos²2x) dx [/tex]

( Je pense avoir réussi cette question )

2) a) Calculer la valeur de I+J
On sais que I+J = \([tex]\)\int_{0}^{\(\pi\)/2} cos2x dx [/tex]
Or je n'arrive pas a trouver la primitive de cos2x

merci d'avance

[sos-math(13)]

Bonjour Manon,

apparemment, tes balises tex sont mal passées. J'ai l'impression que tes intégrales sont de 0 à pi/2, c'est ça ?

Pour I+J, en effet, tu obtiens l'intégrale que tu donnes.

Pour trouver une primitive de cos(2x), tu peux essayer la première chose qui vient à l'esprit : sin(2x), mais en dérivant, tu trouves un coefficient 2 qui gène. Tu peux donc corriger et déterminer la bonne primitive.

(il existe aussi une formule, mais cette démarche essai/erreur te permet d'en réussir d'autres du genre).

Bon courage.

[eleve87]

Oui les intégrales vont de 0 à Pi/2
Pour trouver la primitive de cos(2x) il faut que je dérive sin(2x) ?
Je sais que la dérivé de sin (x) c'est cos (x) mais c'est le 2 qui me gène.
Peut-on dire que la dérivé de sin(2x) est cos(2x) ?

[sos-math(13)]

Bonjour,

tu as vu que la dérivée de f(ax+b) était a*f'(ax+b)
tu peux appliquer ce modèle à sin(x).

[eleve87]

J'obtiendrai donc (sin(2x))' = 2cos(2x) ?

[sos-math(13)]

exact.
Alors que tu veux cos(2x).
Tu obtiens donc 2 fois trop. Ça doit être facile à corriger, non ?

[eleve87]

Je doit faire la dérivé de (sin(2x))/2 ?

[sos-math(13)]

Si tu dérives, tu trouves en effet cos(2x).
Cette information doit t'aider.

[eleve87]

Bonjour,

D'après cela on en déduit la primitive de cos(2x) , qui est donc (sin(2x))/2

On nous demande de calculer I+J , je me sert donc de la primitive de cos(2x) et je trouve I+J = 0
Puis on nous demande de justifié que cos²2x = 0.5(1+cos4x)
On sais que cos²x= 0.5(1+cos2x) , on en déduit donc que cos²2x = 0.5(1+cos4x)
Ensuite il faut trouvé une primitive de cos²2x, or comme cos²2x = 0.5(1+cos4x) , on cherche la primitive a partir de 0.5(1+cos4x) , je trouve F(x) = 0.5x(x+sin4x)

( J'ai des doutes avec le sin4x .. )

Puis on doit calculé I-J , et je trouve (0.5pi²)/(4)

Ensuite on doit déterminé grâce au questions précédentes la valeur de I puis de J

Merci d'avance

[sos-math(13)]

Le début est bon.

à partir de

Ensuite il faut trouvé une primitive de cos²2x, or comme cos²2x = 0.5(1+cos4x) , on cherche la primitive a partir de 0.5(1+cos4x) , je trouve F(x) = 0.5x(x+sin4x)

ça cloche, car tu considères qu'une primitive de u*v est U*V, ce qui est faux.
Le plus simple est de développer 0.5(1+cos4x) pour en chercher ensuite une primitive.
Tu auras une partie constante (facile) et une partie avec du cos(4x). Or tu as déjà fait un travail similaire avec du cos(2x).

La fin devrait s'enchaîner sans trop de problème.

[eleve87]

0.5(1+cos4x) = 0.5 + 0.5cos4x
F(x) = 0.5x + 0.5(sin4x)/(4)

Je ne suis pas sure a cause du 0.5 devant (sin4x)/(4)

[sos-math(13)]

Comme sur des roulettes !

[eleve87]

C'est juste ?

[sos-math(13)]

Ben oui, sinon je t'aurais dit ce qui clochait. Bravo.

[eleve87]

Merci , sinon pour la fin pour déterminé I et J , on va avoir un système ?