1ère S les fonctions dérivées

[eleve86]

Bonjour,

Voici l'exercice qui me pose problème :

Dans un repère orthonormé, on a tracé la parabole P d'équation y = x² est la droite (d) d'équation y=4.
A et B sont deux points de P ayant la même ordonnée (inférieure à 4). C et D sont les deux points de la droite (d) tels que ABCD est un rectangle.
Estimer la position de A pour laquelle l'aire du rectangle ABCD est maximale.

Voilà mon idée :
J'appelle x l'abscisse du point A.
Je sais que l'aire d'un rectangle = L *l
Je pense qu'en trouvant l'aire de ce rectangle, je pourrais obtenir une fonction f(x). Après je pourrai calculer f'(x) et faire un tableau de variation.
Mais je bloque sur f(x). Je ne vois pas comment trouver la longueur et la largeur.
Merci d'avance

[sos-math(13)]

Bonjour,

ta méthode est correcte.
Si l'abscisse de A est x, tu connais l'abscisse de B. Or l'une des dimensions du rectangle est la différence des deux abscisses.
Par ailleurs, tu connais l'ordonnée de A. Or l'autre dimension du rectangle est la différence des ordonnées de D et de A.

Tu as donc ta fonction, et tu peux continuer.

Bon courage.

[eleve86]

Merci beaucoup

Voilà ce que je trouve mais je ne suis pas certaine de ma réponse !

Abscisse de A = x
Abscisse de B = -x
Donc longueur du rectangle = x--x=x+x

Ordonnée de A= x²
Ordonnée de D = 4
Donc la largeur = 4-x²

f(x) = (x+x) * (4-x²)
f(x) = -2x^3 + 8x

Est-ce que c'est juste ???

[sos-math(13)]

C'est parfait.

[eleve86]

Super !!!!!

Merci beaucoup

je fais donc la dérivée de f'(x)=-2*3x²+8
f'(x)= -6x²+8

Est ce que je dois faire delta pour trouver deux racines ?
Je pense qu'elles sont importantes pour mon tableau.

Ou je passe directement au tableau de variation ?
Avec un carré toujours positif et 8 aussi.

[sos-math(13)]

Gardons notre calme ;-)

Pour l'étude du signe du trinôme, tu peux calculer le discriminant, et conclure comme le cours te l'a appris.

La deuxième méthode que tu cites n'est pas concluante. En effet, puisqu'un carré est positif, et que 8 est aussi positif, tu fais la différence entre deux nombres positifs... On ne connait pas son signe a priori.

Sinon, tu peux résoudre directement -6x²+8>0 par exemple. Car ce "trinôme" est en fait un binôme, donc la résolution de l'inéquation ne devrait pas poser trop de problème. Il y a tout de même des précautions à prendre.

Pour la sécurité, disons que la méthode du discriminant est peut-être préférable.

Pour la qualité, je préfère l'inéquation.

Bon courage.

[eleve86]

Merci

J'ai opté pour la sécurité ! Je trouve donc comme racines (2 racine carrée de 3 )/3 et (-2 racine de 3)/3

Donc mon maximum est (32 racine carrée de 3)/9. Il est atteint pour x= (2racine carrée de 3)/3

Pour le trouver j'ai fait f(2 racine carrée de 3)/3

Je ne suis pas certaine que cela soit très clair ?!

[sos-math(13)]

à part un petit souci de parenthèses f( 2sqrt(3)/3 ), et quelques justifications à ajouter (pourquoi s'agit-il d'un maximum ?), la réponse est correcte.

Bon travail.

[eleve86]

Merci pour tous vos conseils

[sos-math(13)]

à bientôt sur sos-math.