En sachant que a, b et c désignent trois entiers strictement positifs avec a>b, je dois démontrer les propriétés suivantes:
a)"Si k divise a et b, alors k divise a+b".
b)"Si k divise a et b, alors k divise a-b."
c)"Si k divise a et b, alors k divise le reste de la division euclidienne de a par b".
Je pense donc que k est un multiple de a et b.
J'ai remplacé k,a et b par des nombres pour mieux comprendre, mais je ne sais pas comment l'expliquer en language mathématique.
Merci d'avance.
Démontrer propriétés d'Euclide
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Personne
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sos-math(21)
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Re: Démontrer propriétés d'Euclide
Bonjour (c'est la règle sur ce forum, politesse exigée !)
Pour démontrer ce genre de propriétés, on est obligé passer par le calcul littéral :
pour le premier dire que k divise a signifie qu'il existe un entier \(m\), tel que \(a=k\times m\)
dire que k divise b, signifie qu'il existe un entier \(n\), tel que \(b=k\times n\)
donc \(a+b=\underline{k}\times m+\underline{k}\times n \underbrace{=}_{regle\,de\,distributivite}k\times(m+n)\) autrement dit il existe un entier \(p=m+n\), tel que \(a+b=k\times p\), donc k divise a+b.
essaie de faire les autres sur le même modèle
Pour démontrer ce genre de propriétés, on est obligé passer par le calcul littéral :
pour le premier dire que k divise a signifie qu'il existe un entier \(m\), tel que \(a=k\times m\)
dire que k divise b, signifie qu'il existe un entier \(n\), tel que \(b=k\times n\)
donc \(a+b=\underline{k}\times m+\underline{k}\times n \underbrace{=}_{regle\,de\,distributivite}k\times(m+n)\) autrement dit il existe un entier \(p=m+n\), tel que \(a+b=k\times p\), donc k divise a+b.
essaie de faire les autres sur le même modèle
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Personne
Re: Démontrer propriétés d'Euclide
Bonjour (veillez m'excuser),
Je pense que pour le b) c'est ceci:
Soit un entier s tel que:
a=k x s
Soit un entier t tel que:
b= k x t
Donc a-b= k x s - k x t
a-b= k (s-t)
Voici ce que j'ai trouvé pour le c mais je n'en suis pas sûre:
Soit un entier x tel que:
a= kx
Soit un entier y tel que:
b= ky
Soit un entier z tel que:
a/b=z
Le reste de la division euclidienne a par b est notée r.
Donc a=zb + r
Merci beaucoup de m'avoir aidée.
Je pense que pour le b) c'est ceci:
Soit un entier s tel que:
a=k x s
Soit un entier t tel que:
b= k x t
Donc a-b= k x s - k x t
a-b= k (s-t)
Voici ce que j'ai trouvé pour le c mais je n'en suis pas sûre:
Soit un entier x tel que:
a= kx
Soit un entier y tel que:
b= ky
Soit un entier z tel que:
a/b=z
Le reste de la division euclidienne a par b est notée r.
Donc a=zb + r
Merci beaucoup de m'avoir aidée.
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sos-math(21)
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Re: Démontrer propriétés d'Euclide
C'est très bien Je reprends juste la fin
Personne a écrit :Bonjour (veillez m'excuser),
Je pense que pour le b) c'est ceci:
Soit un entier s tel que:
a=k x s
Soit un entier t tel que:
b= k x t
Donc a-b= k x s - k x t
a-b= k (s-t) impeccable
Voici ce que j'ai trouvé pour le c mais je n'en suis pas sûre:
Soit un entier x tel que:
a= kx
Soit un entier y tel que:
b= ky
Soit un entier z tel que:
a/b=z
Le reste de la division euclidienne a par b est notée r.
Donc a=zb + r donc r=a-zb=kx-zky=... à toi de terminer en factorisant
Merci beaucoup de m'avoir aidée. De rien et bon courage pour la suite