Suites

[Lola]

Bonjour,
Je dois faire un exercices sur les suites mais je n'y arrive pas, jai donc besoin d'aide svp.

On étudie l'évolution de deux fourmilières A et B. Chaque mois 20% de fourmis de la population A passent en B et 30% des fourmis de la population B passent en A. On notera \(u_n\) et \(v_n\) le nombre total de milliers de fourmis le mois n respectivement dans les fourmilières A et B.
Le nombre initial de fourmis est \(u_0 = 320\) milliers et \(v_0 = 180\) milliers.

1. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a :
\(u_{n+1} = \frac{4}{5}u_n + \frac{3}{10}v_n\)
\(v_{n+1} = \frac{1}{5}u_n + \frac{7}{10}v_n\)

2. On pose \(S_n = u_n + v_n\) et \(t_n = -2u_n + 3v_n\), pour tout entier n.
a) Montrer que la suite \((S_n)\) est une suite constante et donner la valeur de cette constante.
b) Montrer que la suite \((t_n)\) est une suite géométrique dont on donnera les éléments caractéristiques.
3. En déduire une expression de \(u_n\) et de \(v_n\) en fonction de n.
4. A l'aide d'une calculatrice afficher les 30 premières valeurs de la suite \(w_n = (\frac{1}{2})^n\) pour tout entier naturel n puis conjecturer la valeur de \(\lim_{n\to +\infty} (\frac{1}{2})^n\).
5. En déduire \(\lim_{n\to +\infty}u_n\) et \(\lim_{n\to +\infty}v_n\)

Pour la 1 j'ai trouvé les valeurs mais je ne vois pas pourquoi ils mettent \(u_{n+1}\) et \(v_{n+1}\). Pourquoi ce n'est pas \(U_n =...\)\(V_n=...\) ?Et pours la suite je ne vois pas du tout comment on fait. Pouvez-vous m'expliquer svp?

[SoS-Math(4)]

Bonsoir,


pour 2) a) je te propose de faire le calcul U(n+1)+V(n+1) en additionnant les 2 égalités.

pour 2)b) calcule -2U(n+1)+3V(n+1) en utilisant les 2 mêmes égalités.

sosmaths

[Lola]

Bonsoir,

2.a) \(S_(n+1) = S_n\) donc \(S_n\) est contante donc sa valeur est n ??
2.b) \(T_(n+1) = -U_n+1,5V_n\). Mais qu'est_ce que je dois faire après ?

[SoS-Math(4)]

2a) ok, mais la valeur n'est pas n.
2b) mettre 1/2 en facteur, puis observer;

sosmath

[Lola]

Merci !
Qu'est-ce que veut dire conjecturer ?

[SoS-Math(4)]

ça veut dire deviner ou se douter de ;

sosmaths

[Lola]

Ah d'accors, et est-ce que vous pouvez me dire comment on affiche des valeurs svp ? J'ai une TI-82
Et pour la dernière question, quand ça tend vers l'infini ca veut dire que la limite = + infini ?

[SoS-Math(4)]

non, c'est n qui tend vers l'infini, la limite peut être un nombre.

Pour la Ti, c'est un peu difficile à expliquer, fouille un peu dans les menus ou chercher le mode d'emploi sur internet.

sosmaths

[Lola]

D'accord merci pour votre aide !

[Lola]

Aj j'ai oublié de vous demander est-ce que pour la 2 b c'est ça ?
\(\frac{T_(n+1)}{T_n} = \frac{-U_n+1.5V_n}{2(-2U_n+3V_n)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}\)

[SoS-Math(4)]

plutot faux, ton calcul :
utilise le message de 8.03pm

sosmaths

[Lola]

Ah oui je vois. Pour calculer le premier terme je dois utiliser \(U_0\) ou \(V_0\) ?

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

quand tu as calculé T(n+1) tu as trouvé : T(n+1)=-Un+1,5Vn

je t'ai alors dit : il faut mettre 1/2 en facteur. Fais le et écris moi ton résultat.*

sosmaths

[Lola]

Bonjour,

\(\frac{t_(n+1)}{t_n} = \frac{-U_n+1,5v_n}{-2U_n+3V_n}=\frac{-u_n+1,5v_n}{2(-U_n+1.5V_n)}=\frac{1}{2}\)

[SoS-Math(4)]

Ok, ça va comme ça.

sosmaths