Dérivée successive

[Jean]

Bonsoir à tous, un exercice de maths me pose problème, voici l'énoncé:
g est une fonction définie et deux fois dérivable sur telle que, pour tout réel x, g''(x)0
Indiquer en justifiant si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
1) La fonction dérivée de est croissante sur
g est définie et deux fois dérivable sur donc f' est dérivable sur .
De plus, pour tout x, f''(x)0.
Ainsi f' est croissante sur .
Vrai. Sur cette affirmation j'ai simplement une question au niveau de la rédaction celle ci convient t'elle?

2)L'équation g'(x)=0 admet une unique solution dans.
Cette affirmation là m'a posé quelques problème, g' est dérivable sur donc g' est continue sur mais g' n'est n'est pas strictement croissante sur .
De plus 0 peut ne pas appartenir à l'intervalle image.
Donc Faux mais je ne sais pas si il y a un moyen de montrer que g' est strictement croissante et que 0 appartienne à l'intervalle image.

3) a désigne une constante réelle. la fonction h définie sur par:
h:xg(x)-g'(a)(x-a)-g(a) admet un minimum sur .
Sur cette affirmation je n'ai pas eu de problème particulier,
h est dérivable sur comme somme de fonction dérivable sur .
pour tout x, h(x)=g'(x)-g'(a)
Si x= a, h'(a)=0
g' est croissante sur ,
si x<a g'(x)g'(a)g'(x)-g'(a)0h'(x)0
Si x>a h'(x)0
Donc h'(x) s'annule et change de signe en a donc h admet un extremum en a. h est décroissante puis croissante donc h admet un minimum en a.

4)La courbe représentative de g est au dessus de toutes ses tangentes.
C'est cette affirmation qui m'a posé réellement problème.
La tangente à la courbe au point d'abscisse a a pour équation g'(a)(x-a)+g(a)
Or g(x)-(g'(a)(x-a)+g(a))=h(x)
Et h atteint son minimum pour x=a de plus h(a)=0 donc pour tout x appartenant a R, h est positive et ainsi la courbe représentative de f est au dessus de toutes ses tangentes.

[SoS-Math(11)]

Bonjour Jean,

Si dans la première question tu as g"(x)>0 c'est OK, mais je ne vois pas de symbole entre g"(x) et 0 dans ton message. La rédaction est convenable.

Pour la question 2, je ne vois pas tous les symboles, mais je suis d'accord, g' peut-être strictement positive et strictement croissante sur R sans jamais s'annuler (par exemple l'exponentielle si tu as déjà vu cette fonction).

Ok pour les questions 3 et 4 mais j'ai toujours un doute n'ayant pas tous les symboles de comparaison et d'intervalle.
La rédaction peut convenir, cela dépend aussi du degré d'exigence de ton professeur.

Bonne continuation

[Jean]

Excusez moi je n'avais pas vu que les signe n'étaient pas affiché je vous renvoie l'énoncé avec les signes:

g est une fonction définie et deux fois dérivable sur R telle que, pour tout réel x, g''(x)\(\geq\)0
Indiquer en justifiant si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
1) La fonction dérivée de est croissante sur R
g est définie et deux fois dérivable sur R donc f' est dérivable sur .
De plus, pour tout x appartenant à R , f''(x)\(\geq\)0.
Ainsi f' est croissante sur R .
Vrai. Sur cette affirmation j'ai simplement une question au niveau de la rédaction celle ci convient t'elle?

2)L'équation g'(x)=0 admet une unique solution dans R.
Cette affirmation là m'a posé quelques problème, g' est dérivable sur donc g' est continue sur mais g' n'est n'est pas strictement croissante sur .
De plus 0 peut ne pas appartenir à l'intervalle image.
Donc Faux mais je ne sais pas si il y a un moyen de montrer que g' est strictement croissante et que 0 appartienne à l'intervalle image.

3) a désigne une constante réelle. la fonction h définie sur par:
h(x)=g(x)-g'(a)(x-a)-g(a) admet un minimum sur .
Sur cette affirmation je n'ai pas eu de problème particulier,
h est dérivable sur R comme somme de fonction dérivable sur R .
pour tout x, h(x)=g'(x)-g'(a)
Si x= a, h'(a)=0
g' est croissante sur ,
si x<a g'(x)\(\leq\)g'(a) ssi g'(x)-g'(a)\(\leq\)0 ssi h'(x)\(\leq\)0 ssi désigne la double flêche et les inégalité ne sont pas stricte car g' n'est pas
Si x>a h'(x)\(\geq\)0 strictement croissante.
Donc h'(x) s'annule et change de signe en a donc h admet un extremum en a. h est décroissante puis croissante donc h admet un minimum en a.

4)La courbe représentative de g est au dessus de toutes ses tangentes.
C'est cette affirmation qui m'a posé réellement problème.
La tangente à la courbe au point d'abscisse a a pour équation g'(a)(x-a)+g(a)
Or g(x)-(g'(a)(x-a)+g(a))=h(x)
Et h atteint son minimum pour x=a de plus h(a)=0 donc pour tout x appartenant a R, h est positive et ainsi la courbe représentative de f est au dessus de toutes ses tangentes.
Jean

[SoS-Math(11)]

Bonjour,

C'est ce que j'avais déduis de tes réponses et de la logique de tes explications, donc il n'y a pas de problème pour tes réponses, cela me semble tout à fait convenable.

Bonne journée

[Jean]

Merci beaucoup, bonne soirée.