Etude de la fonction principal

[Benoit]

Bonjour, j'ai un problème avec un exercice, si quelqu'un aurait l'amabilité de m'aider, ce serait gentil!
Soit f la fonction définie sur IR par \(f(x) = e^{2x} - (x + 1)e^{x}\)
1. Déterminer la limite de f en −∞ et interpréter graphiquement le résultat.
2. Déterminer la limite de f en +∞ (On pourra mettre \(e^{2x}\) en facteur).
3. Montrer que \(f^{,}(x) = e^{x}g(x)\). En déduire le tableau de variations de f.
4. Montrer que \(f(a)=\frac{-a2 + 2a}{4}\).
A l’aide de la calculatrice, donner un encadrement de \(f(a)\)

1)\(\lim_{x \to -\infty}e^{2x}-(x+1) e^{x}=0\) car \(\lim_{x \to -\infty} e^{2x}=0\) et \(\lim_{x \to -\infty}-(x+1) e^{x}=0\). Il admet donc une asymptote d'équation y=0.
2) \(f(x) = e^{2x} -(x + 1)e^{x}\)= \(e^{2x}(1- (x + 1)e^{-x})\); \(\lim_{x \to +\infty}-(x+1) e^{-x}=0\) car \(\lim_{x \to +\infty}-(x+1)=-\infty\) et \(\lim_{x \to +\infty} e^{-x}=0\). Donc \(\lim_{x \to +\infty}(1-(x+1) e^{-x}=1\). \(\lim_{x \to +\infty}e^{2x}=+\infty\).
Par conséquent, \(\lim_{x \to +\infty}e^{2x}-(x+1) e^{x}=+\infty\)
3)J'ai du mal à le faire!
4) Je ne comprends pas!
Merci d'avance!

[sos-math(20)]

Bonjour Benoît,

Pour la question 3), appliquez les règles de dérivation usuelles et vérifiez que vous trouvez \(x g(x)\) où \(g\) est une fonction qui a dû être définie ailleurs dans l'exercice.

Pour la question 4), je ne peux pas vous aider car je ne sais pas qui est \(a\).

Bonne fin de journée.

SOS-math