différentes expressions du produit scalaire.

[Cédrici]

Bonjour,
Le produit scalaire en 1S est présenté sous trois formes différentes :
FORME 1 : vect(AB) . vect(AC) = AB * AC * cos(angleBAC)
OU FORME 2 : vect(AB) . vect(AC) = AB * AH où H est le projeté orthogonal de C sur (AB) dans le cas où les vecteurs AB et AH sont de même sens (le produit scalaire serait négatif si les vecteurs AB et AH étaient de sens contraires).
OU FORME 3 : vect(AB) . vect(AC) = 1/2 (AB^2 + AC^2 - BC^2).
J'arrive à prouver que les formes 1 et 2 sont équivalentes mais je n'arrive pas à montrer la forme 3 en partant de la forme 1 ou 2, ni à montrer la réciproque : partir de la forme 3 et montrer la forme 1 ou 2.
Les livres de 1S conjecturent cette équivalence mais je ne trouve pas de preuve.
Merci d'avance pour votre aide.
Cordialement,
Cédric.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Cédric,

Pour faire la démonstration il faut (par exemple) utiliser le résultat du développement de \((\vec{AB}-\vec{AC}).(\vec{AB}-\vec{AC})\)
et en se rappelant que \(\vec{AB}.\vec{AB}=AB^2\) (d'après la forme 1 ou 2).

SoSMath.

[Cédric]

Bonjour,
Je comprends votre indication mais il faut donc supposer de savoir les règles de développement du produit scalaire.
merci,
Cédric

[SoS-Math(9)]

Bonjour Cédric,

En effet il faut avoir démontré les règles de développement du produit scalaire !
Mais elles sont assez simples à démontrer avec la forme 1 ou 2 ...

SoSMath.

[cédric]

Bonsoir,
soit u=vect(U) , v=vect(V) et w=vect(W).
Avec la forme 1, je montre facilement que u.v=v.u
Ensuite, je vais tenter de montrer que u.(v+w)=u.v+u.w
u.(v+w)= IIuII IIv+wII cos(u;v+w)
Par ailleurs, u.v = IIuII IIvII cos(u;v) et u.w = IIuII IIwII cos(u;w)
d'où u.v+u.w = IIuII (IIvII cos(u;v) + IIwII cos(u;w))
et là je ne vois pas comment établir que IIv+wII cos(u;v+w) = IIvII cos(u;v) + IIwII cos(u;w) ?
Merci
(vous me dites que c'est simple mais pas pour moi malheureusement ....)
Cédric

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Cédric,

Puisque cette méthode n'est pas simple pour toi, tu peux essayer d'utiliser la 4ème forme du produit scalaire : les coordonnées ...
si \(\vec{u}(x;y)\) et \(\vec{v}(x^{,};y^,)\) dans un repère orthonormé alors \(\vec{u}.\vec{v}=xx^,+yy^,\)

SoSMath.

[Cédric]

Bonsoir,
mais le problème pour pouvoir utiliser les expressions analytiques, c'est que leur preuve (dans le livre) utilise justement la forme 3 du produit scalaire. je tourne en rond ...
Merci quand même.
Cédric