Fonctions et suites

[Magid]

Bonsoir,
j'ai un exercice à faire pour un DM mais je ne suis pas sur de comprendre.

Pour la question 1, j'ai calcule la limite de (un) et la limite de (vn) quand n tend vers + l'infini et je trouve que les deux suites on la même limite quand n tend vers plus l'infini

Pour la question 2, je calcule la limite de f(un) et f(vn)

Pour la trois, je ne vois pas...

Merci d'avance de votre aide

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Si tu regardes les suites \(f(u_n)\) et \(f(v_n)\) on a deux suites constantes le première vaut 1, la seconde vaut -1.
En effet \(f(u_n)=sin\left(\frac{1}{\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2\pi\,n}}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}+2\pi\,n\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\) car la fonction sinus est périodique de période \(2\pi\)
On refait pareil pour l'autre suite et cela vaut -1.
C'est en contradiction avec la continuité de f en 0 : car on sait que pour toute suite de réels convergeant vers 0,la suite \(f(u_n)\) converge vers f(0), or ici on deux suites de réels convergeant vers 0 et les suites \(f(u_n)\) et \(f(v_n)\) qui convergent vers deux réels différents, ce qui contredit la continuité.

[Magid]

Oui effectivement j'avais établi dans la question 2 que f(un)=1 et f(vn)=-1 mais je ne voyais pas le lien avec la continuité
Merci beaucoup

[sos-math(21)]

Bon courage pour la suite, (je ferais mieux de dire pour les suites, blague)
A bientôt sur sos-math